Funciones y álgebra

Question

Q4)

$f(x) = x^2 +4kx + (3+11k)$ donde $k$ es una constante

i) Expreso $f(x)$ en la forma $(x+p)^2 +q$ , donde $p$ y $q$ son constantes que se encuentran en términos de $k$ .

Dado que la ecuación $f(x)=0$ no tiene raíces reales

ii) Encuentre el conjunto de todos los valores posibles de $k$ .

---

Así que para i)

Hasta ahora lo he hecho:

$f(x) = x^2 +4kx + (3+11k)$

$(x+2k)^2 + 4k^2 + (3+11k)$

$f(x) = (x+2k)^2 + 3 + 11k + 4k^2 $

---

ii) Tengo algo de trabajo que es demasiado complicado para escribirlo pero he terminado con k es menor o igual a $0.92$ .

Está claro que necesito $4$ respuestas. ¿Me he equivocado, dónde puedo ir desde aquí? ¿Cuál es la forma más inteligente de resolver ambas partes de la pregunta?

Muchas gracias a todos

S

Answer 1

En tu solución tienes un signo equivocado: $$ f(x) = x^2 +4kx + (3+11k)=x^2 +4kx +4k^2 \mathbin{\color{red}{-}}4k^2 + (3+11k) $$ por lo que se obtiene $$ f(x)=(x+2k)-4k^2+11k+3 $$

No necesitas el paso 1 para resolver el paso 2. Un polinomio de grado dos no tiene raíces reales si y sólo si su discriminante es negativo: $$ (4k)^2-4(3+11k)<0 $$ se convierte en $$ 16k^2-12-44k<0 $$ o $$ 4k^2-11k-3<0 $$ Ahora, las raíces de $4k^2-11k-3=0$ son $-1/4$ y $3$ así que

Answer 2

Vayamos paso a paso:

$$f(x)=x^2+4xk+3+11k$$

si sumas y restas $4k^2$ lo consigues:

$$f(x)=x^2+4xk+4k^2-4k^2+3+11k=(x+2k)^2-4k^2+11k+3$$

Si llamamos a $p=2k$ y $q=-4k^2+11k+3$ hemos escrito la función en la forma $f(x)=(x+p)^2+q$ .

Ahora sabemos $f(x)=0$ no tiene ninguna raíz real. Eso significa que

$$(x+p)^2+q=0\Leftrightarrow(x+p)^2=-q$$

no tiene ninguna raíz real. Así, $q$ debe ser positivo. Es decir $q=-4k^2+11k+3>0$ . ¿Puedes calcular los valores de $k$ que cumplen $-4k^2+11k+3>0$ ?