¿Dónde está la distinción entre $det(\lambda I - A)$ y $det(A - \lambda I)$ ¿para el char. pol. de A vienen?

Question

Veo ciertos libros de texto y la gente utiliza uno u otro y yo hice la aritmética en un caso muy básico y resultaron ser lo mismo, pero todavía tengo curiosidad por saber dónde se origina la diferencia y si es sólo una cuestión de preferencia.

La primera vez que me encontré con $det(\lambda I - A)$ al leer sobre el teorema de Cayley-Hamilton y me pregunté por un momento si la inversión tiene algo que ver con el hecho de que el polinomio característico se calcula ahora (en el contexto de CH) con una matriz como argumento en lugar de un escalar.

Muchas gracias.

Answer 1

En efecto, es sólo una cuestión de preferencia; el hecho de utilizar un argumento escalar o matricial no supone ninguna diferencia. Tenga en cuenta que si $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ entonces $$ \det(A - \lambda I) = \det((-1) \cdot (\lambda I - A)) = (-1)^n \det (\lambda I - A) = (-1)^n p(\lambda) .$$

Answer 2

Algunas definiciones del polinomio característico exigen que sea mónico: el término de mayor grado debe tener un coeficiente de $1$ . $\det(\lambda I-A)$ lo garantiza independientemente del tamaño de $A$ . Con $\det(A-\lambda I)$ el término de mayor grado tiene un coeficiente de $-1$ para impar-orden $A$ . Los dos polinomios tienen, por supuesto, las mismas raíces, ya que $\det(\lambda I-A)=(-1)^n\det(A-\lambda I)$ , donde $n$ es el orden de $A$ .

Si el polinomio característico no tiene que ser mónico, entonces esto es en gran medida una cuestión de preferencia. En la práctica, $A-\lambda I$ puede ser ligeramente mejor si calculas los valores propios a mano, ya que es menos probable que cometas un error tonto de signo al formar esta matriz.