Encontrar la varianza de la serie temporal definida como $x_t=\phi x_{t-1}+w_t$ , para $t=2,3,4,...$ .

Question

Dejemos que $w_t$ sea ruido blanco con varianza $\sigma_w^2$ y que $|\phi|<1$ sea una constante. Consideremos el proceso $x_t=w_1$ y $x_t=\phi x_{t-1}+w_t$ para $t=2,3,...$ . Necesito encontrar la varianza.

Sé que desde $$x_1=w_1$$ entonces $$x_2=\phi w_1+w_2$$ $$x_3=\phi^2 w_1+\phi w_2+w_3$$ ... $$x_t=\phi^{t-1}w_1+\phi^{t-2}w_2+..+w_t=\sum_{i=1}^{t-1}\phi^{t-i}w_i=\sum_{i=0}^{t-1}\phi^{(t+1)-i} w_{i+1}$$

Y se deduce que la varianza es $$var(x_t)=E((\sum_{i=1}^{t-1}\phi^{t-i}w_i)^2)-0$$ $$=\phi^{2(t-1)}E(w_1^2)+...+\phi^{2*0}E(w_t^2) $$ $$=\sigma_w^2*(\phi^{2(t-1)}+\phi^{2(t-2)}+...+\phi^{2*0})=\sigma_w^2\sum_{i=0}^{t-1}(\phi^2)^i=\sigma_w^2[\dfrac{1-(\phi^2)^t}{1-\phi^2}] $$ (Se deduce de la fórmula de la secuencia geométrica). Los otros términos son nulos, ya que la secuencia de variables de ruido blanco no están correlacionadas para un retardo mayor que 0. ¿Esto es correcto? Es que no sé si mi respuesta está fuera de la potencia de $\phi$ . Gracias.

Answer 1

$\phi^{t-1} w_1 + \phi^{t-2} w_2 + \ldots+ w_t = \sum_{i=1}^{t-1} \phi^{t-i} w_i$

Esta ecuación no es correcta: En el lado izquierdo aparece un " $w_t$ ", pero en el lado derecho no. Así que, en su lugar, debería decir

$$\phi^{t-1} w_1 + \phi^{t-2} w_2 + \ldots+ w_t = \sum_{i=1}^{\color{red}{t}} \phi^{t-i} w_i$$

Excepto que tus cálculos son correctos.