Intercambio $\inf$ y $\lim$ ?

Question

Dejemos que $U \subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto y $K \subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto compacto. Supongamos que tenemos una función continua $c : U \times K \rightarrow (0, \infty)$ . Ahora defina $$\rho(x) = \inf_{k \in K} c(x, k)$$ Es $\rho$ ¿constantemente?

He intentado considerar las imágenes inversas de los intervalos $(a, b)$ y demostrar que están abiertos utilizando ese $c$ es continua, pero el problema es que $\rho^{-1}(a, b)$ implica tomar intersecciones arbitrarias de los conjuntos abiertos que se obtienen al tomar preimágenes bajo $x \mapsto c(x, k)$ Así que no sé qué hacer.

Gracias.

Answer 1

Aquí hay una prueba utilizando secuencias:

Esta prueba se basa en un lema técnico: la secuencia $\theta_n$ converge a $\hat{\theta}$ si $\theta_n$ , $\hat{\theta}$ son tales que para cualquier subsecuencia $\theta_{n_i}$ existe una sub-secuencia $\theta_{n_{i_k}}$ tal que $\theta_{n_{i_k}} \to \hat{\theta}$ .

Supongamos que $x_n \to \hat{x}$ . Sea $k_n$ sea un elemento tal que $\rho(x_n) = c(x_n,k_n)$ . Nótese que, por construcción, $c(x_n,k_n) \le c(x_n,k)$ para todos $k \in K$ .

Desde $K$ es compacto, tenemos $k_{n_i} \to \hat{k}$ (es decir, alguna subsecuencia converge a algún elemento $\hat{k}\in K$ ). Por continuidad, tenemos $c(\hat{x},\hat{k}) \le c(\hat{x},k)$ para todos $k \in K$ y así $ c(\hat{x},\hat{k}) = \rho(\hat{x})$ .

Tenemos que demostrar que $\rho(x_n) \to \rho(\hat{x})$ . Supongamos que $\rho(x_{n_i})$ es una subsecuencia. Dado que $x_{n_i} \to \hat{x}$ el argumento anterior muestra que para alguna subsecuencia más tenemos $k_{n_{i_j}} \to k' \in K$ y $\rho(x_{n_{i_j}}) = c(x_{n_{i_j}}, k_{n_{i_j}}) \to c(\hat{x}, k') = \rho(\hat{x})$ . El lema anterior nos permite concluir que $\rho(x_n) \to \rho(\hat{x})$ .

Alternativamente : Aquí hay una prueba usando la continuidad uniforme:

Elija $\hat{x} \in U$ . Sea $C \subset U$ sea un conjunto compacto que contenga $\hat{x}$ en su interior. A continuación, $C \times K$ es compacto, y por lo tanto $c: C \times K \to \mathbb{R}$ es uniformemente compacto. Por comodidad, se utiliza la métrica $\|(x,k)\| = \max(\|x\|,\|k\|)$ . Mostraremos la semicontinuidad superior e inferior por separado, lo que demuestra que $\rho$ es continua.

Dejemos que $\epsilon>0$ . Entonces existe $\delta>0$ de manera que si $\max(\|x_1-x_2\|,\|k_1-k_2\|) < \delta$ entonces $|c(x_1,k_1)-c(x_2,k_2)| < \epsilon$ .

Supongamos que $\rho(\hat{x}) = c(\hat{x},\hat{k})$ y $\|\hat{x}-x\| < \delta$ . Entonces $\rho(x) \le c(x,\hat{k}) < c(\hat{x},\hat{k}) + \epsilon = \rho(\hat{x})+\epsilon$ y así $\rho$ es semicontinuo superior (esto sólo requiere continuidad en $x$ en $(\hat{x},\hat{k})$ ).

También tenemos $\rho(\hat{x}) \le c(\hat{x},k)$ para todos $k$ . De nuevo, supongamos $\|\hat{x}-x\| < \delta$ . Entonces $\rho(\hat{x})-\epsilon < c(x,k)$ para todos $k$ y así $\rho(\hat{x})-\epsilon \le \rho(x)$ y así $\rho$ es semicontinuo inferior (esto requiere continuidad en $x$ en $(\hat{x},k)$ , de manera uniforme en $k$ ).