T. La definición de Y. Lam para el rango de un módulo proyectivo

Question

Este es un concepto de Conferencias sobre módulos y anillos de T. Y. Lam. Está en la página 34-35 del libro.

A lo largo de este post, $R$ se utilizará para denotar un anillo conmutativo.

Dejemos que $P$ sea un f.g $R-$ módulo proyectivo. Para cualquier ideal primo $\mathfrak{p} \subset R$ la localización $P_{\mathfrak{p}} := P \otimes_R R_{\mathfrak{p}}$ es también un f.g proyectivo $R_{\mathfrak{p}}-$ módulo. $\color{green}{\textbf{I get this part. Yay!!!}}$ Desde $R_{\mathfrak{p}}$ es un anillo local, $P_{\mathfrak{p}}$ debe ser realmente libre (según FC 19.29). $\color{green}{\textbf{Sounds good!!!}}$ , digamos que $P_{\mathfrak{p}} \cong R_{\mathfrak{p}}^{n_{\mathfrak{p}}}$ (para algunos $n_\mathfrak{p} \in \mathbb{N}$ ), por lo que tenemos una función $f: \text{Spec}(R) \to \mathbb{Z}$ enviando a cada uno $\mathfrak{p}$ a $n_\mathfrak{p}$ . Si esa función $f$ es constante, es decir $n_\mathfrak{p} = n, \forall \mathfrak{p} \in \text{Spec}{R}$ diremos que $P$ tiene rango $n$ . Y denotarlo como: $\text{rk}(P) = n$ . $\color{red}{\textbf{What I don't really get is the idea behind this definition.}}$ .

Y además, el autor deja un hecho sin demostrar:

Es un hecho. Dejemos que $P$ , $Q$ sean dos f.g proyectivas $R-$ módulos de rango $n$ y $m$ respectivamente. Demuestre que $\text{rk}(P^*) = n$ y $\text{rk}(P\otimes_RQ) = nm$ , donde $P^* = \text{Hom}_R(P; R)$ .

Creo que debe ser muy fácil, ya que el autor no lo demuestra. Así que aquí está mi intento en el problema.

Desde $P$ , $Q$ son ambos f.g $R-$ proyectiva, existe $R-$ módulos $P'$ y $Q'$ , de tal manera que $R^i = P\oplus P'$ y $R^j = Q\oplus Q'$ . Así que tendremos:

• $R^i = \text{Hom}(R^i,R) = \text{Hom}(P \oplus P',R) = \text{Hom}(P,R) \oplus \text{Hom}(P',R)$
• $R^j = \text{Hom}(R^j,R) = \text{Hom}(Q \oplus Q',R) = \text{Hom}(Q,R) \oplus \text{Hom}(Q',R)$

Así que, básicamente, tendremos $P \oplus P' \cong \text{Hom}(P,R) \oplus \text{Hom}(P',R)$ y $Q \oplus Q' \cong \text{Hom}(Q,R) \oplus \text{Hom}(Q',R)$ .

¿Cómo puedo proceder a partir de aquí? ¿Es esta la forma correcta de empezar?

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Sólo quiero preguntar dos cosas:

• En primer lugar, ¿podrían darme la idea (o alguna motivación) detrás de esta definición para el rango de un módulo proyectivo?

• En segundo lugar, ¿podéis revisar mi trabajo (hay algún error sutil, o algo así), y darme un empujoncito en el problema? :(

Muchas gracias por su ayuda,

Y que tengas un buen día,

Answer 1

Ya conoces el rango de un módulo libre, ¿verdad? Es la cardinalidad de una base (bien definida desde $R$ es conmutativo y $R \neq 0$ ). Esto ya es conocido por el álgebra lineal ( $R$ es un campo), donde se llama la dimensión (pero como ves, en realidad es el mismo concepto). Ahora resulta que los proyectivos finitamente generados $R$ -los módulos "no están lejos" de ser libres: Son libre a nivel local . Esto significa que hay una cobertura Zariski de $\mathrm{Spec}(R)$ (el espectro, formado por los ideales primos de $R$ ) de manera que las restricciones son libre. Más elemental: Hay elementos $f_1,\dotsc,f_n$ generando el ideal unitario tal que cada localización en $f_i$ es un módulo libre finitamente generado sobre $R_{f_i}$ . En particular, la localización en cada ideal primo $\mathfrak{p}$ es un módulo libre sobre $R_{\mathfrak{p}}$ para que podamos considerar su rango. Es una función localmente constante en $\mathrm{Spec}(R)$ . No sé por qué Lam sólo considera el caso de que sea una función constante (que es automática cuando $R$ tiene idempotentes no triviales, por ejemplo), ya que esto no es necesario en absoluto.

Las fórmulas $\mathrm{rank}(M^*) = \mathrm{rank}(M)$ , $\mathrm{rank}(M \oplus N) = \mathrm{rank}(M) + \mathrm{rank}(N)$ y $\mathrm{rank}(M \otimes N) = \mathrm{rank}(M) \cdot \mathrm{rank}(N)$ están claros si $M,N$ son módulos libres finitamente generados. Por localización (este proceso preserva los duales, las sumas directas y los productos tensoriales) se deduce más generalmente cuando $M,N$ son módulos proyectivos finitamente generados.

Un ejemplo típico es el ideal $I = (2,1+\sqrt{-5})$ de $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ . Se puede probar $I \oplus I \cong R^2$ para que $I$ es un proyectivo finitamente generado $R$ -de rango (constante) $1$ . Pero $I$ no es un ideal principal, y por lo tanto no es libre.