Al modelar un fenómeno físico me he encontrado con la siguiente ecuación integral: \begin{equation} \mu(z-z_0)=\int_{z_0}^{z}dz_1~f(z_1-z_0)\int_{z_1}^{z}dz_2~f(z_2-z_1)G(z-z_2) \end{equation} donde $f,G,$ son funciones conocidas. Mi intención era obtener una ecuación diferencial para $\mu$ Así que después de leer post-1 y post-2 He aplicado el Regla de Leibniz de la siguiente manera: \begin{align} \frac{d\mu}{dz} & = \frac{d}{dz}\int_{z_0}^{z}dz_1~f(z_1-z_0)\int_{z_1}^{z}dz_2~f(z_2-z_1)G(z-z_2) \\ & =f(z-z_0)\int_{z}^{z}dz_2~f(z_2-z)G(z-z_2)\\ & +\int_{z_0}^{z}dz_1~f(z_1-z_0)~\frac{d}{dz}\int_{z_1}^{z}dz_2~f(z_2-z_1)G(z-z_2) \\ & = 0+\int_{z_0}^{z}dz_1~f(z_1-z_0)~\frac{d}{dz}\int_{z_1}^{z}dz_2~f(z_2-z_1)G(z-z_2) \\ & = \int_{z_0}^{z}dz_1~f(z_1-z_0)\int_{z_1}^{z}dz_2~f(z_2-z_1)\frac{dG(z-z_2) }{dz} \end{align}
Sin embargo sospecho de este resultado porque no tiene sentido físico, porque sé con seguridad que $dG/dz<0, f\geq 0$ pero necesitamos $d\mu/dz\geq 0$ (en realidad $\mu$ es un recuento medio de colisiones y se supone que aumenta con la distancia total recorrida, es decir. $z-z_0$ ). Entonces, ¿hay algo mal en mi derivación anterior?
