¿Es la transformación cilíndrica un mapeo abierto

Question

Consideremos la transformación cilíndrica: $$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, f(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z),$$

Es $f$ ¿una cartografía abierta?

Answer 1

La notación me parece confusa: para mí, " $f(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$ " parece un mapa de identidad porque me imagino $r,\theta,z$ siendo coordenadas cilíndricas. Escribamos $x,y,z$ para las coordenadas en el dominio. Entonces $f(x,y,z)=(u,v,w)$ donde $$u=x\cos y, \ v=x\sin y, \ w=z$$ Este no es un mapa abierto. En concreto, la imagen de la bola $B$ con centro $(0,0,0)$ y el radio $1$ contiene $f(0,0,0)=(0,0,0)$ pero no contiene ningún punto de la forma $(0,\epsilon,0)$ . Spoiler por delante.

Tenga en cuenta que $\cos y$ no desaparece en $B$ . Esto implica que $v=0$ siempre que $u=0$ .