En la teoría compleja de una variable, tenemos el resultado de que los ceros de una función analítica distinta de cero están aislados. En la teoría de varias variables, este resultado no se cumple. He leído en alguna parte que este hecho se puede demostrar utilizando el teorema de Hurwitz. Si alguien puede ayudarme con esto.
Respuesta
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Me limitaré a dos variables porque está claro cómo ampliar a más.
Digamos que $f(x_0, y_0) = 0$ . Definir $f_k(x)=f(x,y_0+1/k)$ . Desde $f$ es continua, $f_k(x)$ converge uniformemente en conjuntos compactos a $g(x)=f(x,y_0)$ . Ahora $g(x_0)=0$ por lo que el teorema de Hurwitz dice que para $k$ suficientemente grande, hay un $x_k$ con $|x_0 - x_k| < \varepsilon/2$ y $f_k(x_k)=0$ . Suponiendo que $k>2/\varepsilon$ vemos que $f(x_k,y_0+1/k)=0$ y $d((x_k,y_0+1/k),(x_0,y_0)) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$ .
Así que hay ceros de $f$ arbitrariamente cerca de $(x_0,y_0)$ y como $(x_0,y_0)$ era un cero arbitrario, vemos que no cero de $f$ está aislado.
Como nota al margen, esto supone $f$ tiene ceros: $f(z_1, z_2) = e^{z_1+z_2}$ es holomorfo y no evanescente.
