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Probabilidad (familia de 3 hijos)

Supongamos que a partir de una familia arbitraria de $3$ niños elegimos uno de ellos al azar. Si el elegido es una niña, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una hermana y un hermano?

(Nota: supongamos que la probabilidad de ser niño o niña es la misma y que los sucesos son independientes, es decir, que el sexo de un niño no afecta a la probabilidad del sexo de los demás).

Lo que he probado:

Así que esto es probablemente incorrecto, pero mi enfoque era decir que esto es lo mismo que preguntar cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean niñas y el otro un niño. Lo que realmente me molesta es que BGG, GGB y GBG parecen ser lo mismo, así que no sé realmente cuál es el espacio muestral...

Así que mi siguiente enfoque fue decir, esto puede ser reformulado como decir: $$P(2\text{ girls, }1\text{ boy)}=P(2\text{ girls})-P(3\text{ girls})$$ Así que $P(2\text{ girls})$ debe ser igual a $P(2\text{ boys})$ ya que cualquier familia tiene al menos 2 niños o 2 niñas y ninguno de los dos puede darse en la misma familia, lo que significa $P(2\text{ girls}) + P(2\text{ boys})=1$ entonces $P(2\text{ girls})=\frac{1}{2}$ . $P(3\text{ girls})$ debe ser $\frac{1}{8}$ y así $P(2\text{ girls, }1\text{ boy})= \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

¿Es esto correcto o estoy entendiendo mal el problema? O podría ser $P(1\text{ boy, }2\text{ girls}|1\text{ girl})$ ? Gracias de antemano.

Ah, y el problema dice que se puede usar Bayes para resolver esto pero no veo cómo para ser honesto...

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illage4 Puntos 3

Probablemente te estés complicando demasiado. Si dibujamos un diagrama de árbol:

   G       B
 G   B   G   B
G B G B G B G B

Como sabemos que el primer elegido es una chica, se reduce a esto:

  (G)
 G   B
G B G B

Cada una de estas probabilidades es $1/4$ y queremos GB o BG por lo que la probabilidad es simplemente $1/2$ .

O, usando el teorema de Bayes:

$$ P(GB|G) = \frac{P(G|GB) P(GB)}{P(G)} $$

Sabemos que como la probabilidad de chica/chico es independiente, entonces $P(G|GB) = P(G)$ . Así que esto se reduce a

$$ P(GB|G) = \frac{P(G) P(GB)}{P(G)} = P(GB) = \frac{1}{2} $$

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Graham Kemp Puntos 29085

Hay $2^3$ resultados en el preliminar espacio de muestra $\{B,G\}^3$ y se puede suponer que son razonablemente igual de probables. Son ocho. A continuación, seleccionamos el primer, segundo o tercer hijo sin prejuicios, y resulta que seleccionamos una niña.

Intuitivamente, toma ocho cajas y lugar tres canicas azules o verdes en cada una como: una caja con tres canicas verdes, tres cajas con dos canicas verdes, tres cajas con una canica verde y la última caja no tiene canicas verdes.

Hay $3+6+3+0$ canicas verdes, de las que podemos seleccionar sin prejuicios, de las cuales $6$ están en cajas con dos canicas verdes y una azul.


Matemáticamente, dejemos que $G$ sea el recuento de niñas, y $S$ el caso de la selección de una chica.   Entonces por la probabilidad condicional y la ley de la probabilidad total:

$$\begin{align}\mathsf P(G=2\mid S)&=\dfrac{\mathsf P(S\cap G=2)}{\mathsf P(S)}\\[1ex]&=\dfrac{\mathsf P(S\cap G=2)}{\mathsf P(S\cap G=1)+\mathsf P(S\cap G=2)+\mathsf P(S\cap G=3)}\\[1ex]&=\dfrac{\tfrac 23\binom 32\tfrac 18}{\tfrac 13\binom 31\tfrac 18+\tfrac 23\binom 32\tfrac 18+\tfrac 33\binom 33\tfrac 18}\\[1ex]&=\dfrac{6}{3+6+3}\\[1ex]&=\dfrac{1}{2}\end{align}$$

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