Teorema AF+BG y propiedad Cohen Macaulay

Question

He intentado resolver el siguiente ejercicio en los apuntes de Vakil

Pregunta 1: Según la pista, debería intentar demostrar que la intersección de conos afines es CM (ya que un esquema unidimensional es CM si no tiene puntos incrustados). Esto me parece muy plausible ya que deberían ser unas líneas afines pegadas en el origen, ¿cómo puedo precisar este argumento?

Pregunta 2: ¿Y luego qué? Si tengo otro polinomio homogéneo $H$ Espero demostrar que es $0$ en $\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]/(f,g)$ . ¿Cómo me ayuda CM (o ningún punto incrustado) a ganar?

Answer 1

El supuesto es que $V_+(f,g)\subset\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$ como esquema, es 0-dimensional y reducido.

En general, si un ideal $I\subset S:=\mathbb{C}[x_0,\ldots,x_n]$ define un subesquema reducido $V_+(I)\subset\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$ no es necesariamente cierto que $I$ es radical. El ideal que es radical es la saturación $I':=\{f\in k[x_0,\ldots,x_n]: fS_k\subset I,\ \mbox{for some } k\}$ . $I'$ es el mayor ideal que define el mismo subesquema de $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$ como $I$ .

Volviendo al ejercicio (ahora $S=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]$ ) , si $h$ es cero a lo largo de $V_+(f,g)$ entonces $h$ está en la saturación de $(f,g)$ Es decir, $h S_k\subset (f,g)$ para algunos $k$ . Si $h\notin(f,g)$ entonces $k\geq 1$ y esta última condición implica claramente que $\mathfrak{m}=(x_0,x_1,x_2)$ es un primo asociado de $S/(f,g)$ .

Sin embargo, $f$ es irreducible y la clase de $g$ en el dominio $S/(f)$ es distinto de cero. Por lo tanto, $(f,g)$ es una secuencia regular y por lo tanto $S/(f,g)$ es un anillo CM unidimensional; en particular, $\mathfrak{m}$ no puede ser un primo asociado.