Hay que usar Borel-Cantelli apropiadamente aquí

Question

Una urna contiene una bola negra y otra blanca. Alguien saca una bola, la vuelve a colocar y añade tantas bolas blancas como haya en la urna. Este proceso se repite infinitamente.

¿Cuál es la probabilidad de que haya una etapa en la que no se saquen más bolas negras? Me dieron el consejo de utilizar el lema de Borel-Cantelli.

Mi idea:

Definir la variable aleatoria en cada momento $i$ , a saber $X_{i}=1$ si la bola extraída es blanca, mientras que $X_{i}=0$ si la bola extraída es negra.

Obsérvese que la secuencia de variables aleatorias $(X_{i})_{i \in \mathbb N}$ es independiente. Entonces me quedo atascado porque al mirar cualquiera de las dos sumas:

$\sum_{i \in \mathbb N}P(X_{i}=1)=\sum_{i \in \mathbb N}\frac{2i-1}{2i}=\infty$

$\sum_{i \in \mathbb N}P(X_{i}=0)=\sum_{i \in \mathbb N}\frac{1}{2i}=\infty$

y ninguno me ayuda a sacar la conclusión deseada. ¿Alguna idea?

Answer 1

$X_i$ es la probabilidad de sacar una bola negra después de la primera extracción, se añade una bola para que haya $2$ - bolas blancas, después del segundo sorteo, $2$ -se añaden bolas hay $4=2^2$ bolas blancas,... después de la $i$ sorteos, $2^{i-2}$ bolas se añaden a las ya existentes $2^{i-2}$ bolas para que haya $2^{i-1}$ bolas blancas.

después de $i$ -draws hay $2^i$ bolas blancas tan $X_i={1\over{2^{i-1}+1}}$ se puede aplicar Borel Cantelli ya que $\sum_{i\geq 1}{1\over{2^{i-1}+1}}$ converge.