Números compuestos y divisores Problema 10

Question

¿Cuáles serían todos los valores posibles de $Z$ si $Z$ debe ser un número compuesto positivo y si el producto $2017\times Z$ tendría precisamente cuatro divisores?

Pensé que no habría tales números compuestos $Z$ porque $Z$ tiene que ser un número primo ya que los divisores tendrían que ser el propio producto, $2017$ , $1$ y $Z$ .

¿Es esto correcto?

Answer 1

Los únicos números que tienen exactamente cuatro divisores son los de la forma $p_1p_2$ donde los primos son distintos y de la forma $p^3$ . La única posibilidad es $Z=2017^2$ debido a la condición dada de que $Z$ ser compuesto.

Answer 2

Si lo piensas lógicamente, deja $Z=nm $ ni $n$ ni $m$ ser $1$ .

A continuación, algunos de los factores necesarios de $2017Z $ son $1,2017,Z,n,m,n2017,m2017,2017Z$ . Son demasiados, así que varios de los factores que he enumerado por separado deben ser realmente iguales. Sabemos que $1,2017,n2017,2017Z $ deben ser 4 factores distintos por lo que el resto deben ser repeticiones.

$n$ no es $1,n2017,2017Z $ así que $n$ debe ser igual a $2017$ .

Así que debe $m $ .

Y así hemos calculado $Z=2017^2$

Answer 3

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo con descomposición en primos $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_k^{a_k}$

Entonces el número de divisores de $n$ es $(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\cdots (a_k+1)$

Para que un número tenga precisamente cuatro divisores, eso implica que será de la forma $n=p_1^1p_2^1$ o será de la forma $n=p_1^3$

En cuanto a su problema específico, observa en primer lugar que $2017$ es primo y queremos $n=2017\cdot Z$ para ser un número con cuatro divisores. Esto implica que $n=2017\cdot p$ para algún primo $p\neq 2017$ o que $n=2017^3$ haciendo $Z=2017^2$ .

Dado que el problema tenía la estipulación de que $Z$ debe ser compuesto, eso descarta la primera posibilidad haciendo la única posibilidad $Z=2017^2$