Encuentra la ecuación del plano que tiene la distancia $1$ de la línea $X: (1,0,2) + \lambda (1,0,2)$ y contiene puntos $P=(1,1,-1)$ y $Q = (2,1,1)$

Question

Me plantean el siguiente problema:

Encuentra la ecuación del plano que tiene la distancia $1$ de la línea $X: (1,0,2) + \lambda (1,0,2)$ y contiene puntos $P=(1,1,-1)$ y $Q = (2,1,1)$

Llamemos al vector normal del plano $\vec{n}$ para que $\vec{n} = (a,b,c)$

Lo que tengo hasta ahora es:

I) Como la distancia del plano y la línea es $1$ utilizando el punto $(1,0,2)$ de la línea y el vector normal del plano,

$$ d_{istance} = 1 = \frac{\vert 1 a + 0 b + 2 c + d \vert }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ 1 = \frac{\vert a+2c+d \vert }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$

II) Como el plano debe ser paralelo a la recta, el producto punto entre el vector normal y $(1,0,2)$ debe ser cero:

$$ (a,b,c) \cdot (1,0,2) = 0\\ a+2c = 0 $$

III) Dado que los puntos $P$ y $Q$ están contenidos en el plano,

$$ a+b-c+d=0\\ 2a+b+c+d = 0 $$

Estoy atascado en esta parte: hay más variables que ecuaciones para resolver (Si combinamos las ecuaciones en III obtenemos la ecuación II). ¿Hay algo más que se me escapa?

La respuesta del libro de texto: $y-1=0$ y $6x-2y-3z-7=0$

Gracias.

Answer 1

( $d=1$ se puede tomar aquí de forma arbitraria. Si se elige otro valor, los valores de $a,b,c$ se escalan por un factor de $d$ y resultan las mismas ecuaciones planas).

$$1=\frac{|a+2c+1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\tag1$$ $$a+b-c=-1\tag2$$ $$2a+b+c=-1\tag3$$ $$a+2c=0\tag4$$ Sustituye (4) en (1) dos veces: $$1=\frac{|0+1|}{\sqrt{(-2c)^2+b^2+c^2}}$$ $$1=\frac1{\sqrt{5c^2+b^2}}$$ $$5c^2+b^2=1\tag5$$ Sustituya (4) y (5) en (2) para dejar una ecuación en $c$ sólo: $$-2c+\sqrt{1-5c^2}-c=-1$$ $$\sqrt{1-5c^2}=3c-1$$ $$1-5c^2=9c^2-6c+1$$ $$14c^2-6c=0$$ de la que obtenemos $c=0$ o $c=\frac37$ . Para ambos casos se sustituye en (4) y luego en (2) para obtener dos posibles normales: $$a=0,b=-1,c=0$$ $$a=-\frac67,b=\frac27,c=\frac37$$ (2) establece que $(a,b,c)\cdot P=-1$ en ambos casos, por lo que tenemos las ecuaciones del plano $$-y=-1,\quad-\frac67x+\frac27y+\frac37z=-1$$ que se reajustan a las respuestas dadas de $$y-1=0,\quad 6x-2y-3z-7=0$$