Considere la esfera $\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3}:x^2+y^2+z^2=1\}$ y el punto de la esfera $(x,y,z)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ . Intuitivamente, pensé "oh, ese punto se encuentra en el "punto muerto" de la esfera en lo que respecta al primer octante", así que pensé que en coordenadas esféricas el mismo punto debería ser $\left(r,\theta,\varphi)=(1,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ Pero más tarde, cuando obtuve algunos cálculos incoherentes, volví a esta afirmación y cuando apliqué las conversiones formales: $$x(r,\theta,\varphi)=r\sin(\theta)\cos(\varphi)$$ $$y(r,\theta,\varphi)=r\sin(\theta)\sin(\varphi)$$ $$z(r,\theta)=r\cos(\theta)$$ Tengo que el punto $(r,\theta,\varphi)=\left(1,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ debe ser realmente $(x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ y esto me ha estado volviendo loco. O hay un error aritmético muy tonto que estoy cometiendo o mi intuición geométrica me está fallando. ¿De qué se trata?
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Tienes razón, por supuesto, que el punto $\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ es simétrica con respecto a las permutaciones del $x,y,z$ ejes, por lo que, por ejemplo, se encuentra en la línea de simetría sobre la que se puede girar $x,y,z$ . Pero estás descuidando el hecho de que $(r,\theta,\varphi)$ coordenadas no se transforman bien bajo rotaciones que mueven el $z$ -eje. Así que no se puede razonar que el ángulo $\theta$ debe tomar algún valor especial por simetría.
Usted puede razonar de esta manera para $\varphi$ considerando el hecho de que el punto no cambia por reflexión en el plano $x = y$ garantiza que $\varphi \equiv \pi/2 - \varphi$ es $\pi/4$ o $5\pi/4$ . Está claro que es lo primero, ya que se encuentra en la primera $(x,y)$ cuadrante.
Pero $\theta$ debe expresarse de forma diferente. Tenga en cuenta que $\theta$ es el ángulo formado con el $z$ eje, que puede expresarse de forma equivalente en términos del ángulo con el $(x,y)$ plano. Como $$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} \qquad \text{ but }\qquad \sqrt{z^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ vemos que en un sentido apropiado debe pensar que su punto es " $\sqrt{2}$ veces más en el $(x,y)$ plano que en el $z$ dirección". Esto se precisa al señalar $$ \theta = \arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{z^2}} = \arctan \sqrt{2} $$ en lugar de $\arctan 1 = \pi/4$ . (Este valor de $\theta \approx 54.7^\circ$ es el llamado ángulo mágico .)
Así que para corregir tu intuición, creo que debes interiorizar la idea de que estamos en 3 dimensiones; el punto tiene igual magnitud en cada dirección; y $\theta$ refleja lo cerca que está de una de las tres direcciones posibles; por tanto, dado que sólo un tercio de la magnitud [al cuadrado] se concentra en esa dirección concreta, el ángulo formado $\theta$ será más grande que $\pi/4$ .
Su intuición es errónea. $\cos\left(\frac{\pi}4\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
El ángulo correcto aquí es $\arccos\left(\frac 1{\sqrt{3}}\right)$ que no tiene una solución de forma cerrada que yo conozca. Si $\cos(\theta) = \frac 1 {\sqrt{3}}$ entonces $\sin{\theta} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ . Así, $\sin(\varphi )= \frac 1{\sqrt{2}}$ . Así, $\varphi = \frac \pi4$ .
Cosenos de dirección
$$l^2 + m^2+n^2= \cos^2 \alpha+ \cos^2 \beta+ \cos^2 \gamma=1; \text {if } l=m=n, \text{then } l=m=n=\frac{1}{\sqrt 3}$$
El vector forma este ángulo con los ejes de coordenadas incluyendo el $z$ eje. El ángulo del círculo paralelo
$$ \theta=\pi/2 - \gamma = \pi/2 - \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt3 }=\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt3 }\approx 35.264^{\circ}; $$
Debido a la misma inclinación a $x-, y-$ ejes y proyección en $x,y$ plano directamente el ángulo acimutal (coordenada polar) $ \varphi= \dfrac{\pi}{4}.$
La esfera se cruza con el $x$ , $y$ y $z$ eje en $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ . Para ver si un punto está en el "punto muerto" se puede encontrar la distancia a cada uno de estos puntos y ver si son iguales. Para $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ las distancias son $1$ , $1$ , $\sqrt{2-\sqrt{2}}$ para que no esté en el "punto muerto". Sin embargo, para $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ las distancias son todas $\sqrt{2-\frac{2}{\sqrt{3}}}$ .
