Mostrar la suma de cualquier elemento es igual a cero en un anillo

Question

Dado $x$ está en $\mathbb Z_n$ , muestra la suma con $n$ términos $x+x+...+x = 0$ utilizando los axiomas del anillo.

Mi enfoque hasta ahora:

$~~~~x+x+...+x$

$=1\cdot x+1\cdot x +...+1\cdot x~$ (Unicidad de 1)

$= (1+...+1)\cdot x~~~~$ (Distributividad)

$= 0\cdot x~~~~~~~$ dudo de esto si puedo tomar directamente $1+...+1=n=0~(mod~n)$

$= 0$

Dudo por qué puedo tomar $1+...+1=0$ pero sin usar $x+x+...+x=n\cdot x =0$ directamente

Answer 1

Le preocupa si podemos asumir $1+1+.... + 1 = n*1 = 0$ . Y si podemos asumirlo, el por qué no podemos simplemente asumir $x+x + ... + x = n*x = 0$ ?

Lema: $n*1 = 0$ .

Pf: si no, entonces $n*1 = m\ne 0; m \in \mathbb Z_n$ . Así que $0 < m < n$ . Así que $(n-m)*1 = n*1 + m*1 = n-m = 0$ . Pero $0 < n-m < n$ así que $n-m \in \mathbb Z_n$ así que $m = n \equiv 0 \mod n$ .

es decir $n*1 = 0$ .

Y con esto ya demostrado, su prueba está bien.