Si $f(1) = 3$ y $\int_{1}^{xy}f(t)dt = y\int_{1}^{x}f(t)dt+x\int_{1}^{y}f(t)dt\;\forall x,y \in \mathbb{R^{+}}\;,$ Entonces $f(e) =

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función diferenciable con $f(1) = 3$ y satisfactorio::

$\displaystyle \int_{1}^{xy}f(t)dt = y\int_{1}^{x}f(t)dt+x\int_{1}^{y}f(t)dt\;\forall x,y \in \mathbb{R^{+}}\;,$ Entonces $f(e) = $

$\bf{My\; Try::}$ Diferenciar ambos lados con respecto a $x\;,$ obtenemos

$\displaystyle \Rightarrow f(xy)\left(x\frac{dy}{dx}+y\right) = y\cdot f(x)+\int_{1}^{x}f(t)dt\cdot \frac{dy}{dx}+x\cdot f(y)\cdot \frac{dy}{dx}+\int_{1}^{y}f(t)dt$

Ahora no entendí cómo puedo resolver después de eso, ayúdenme

Gracias

Answer 1

Dejemos que $F$ sea una antiderivada de $f$ , $F'(x)=f(x)$ para todos $x\geq 1$ . La relación dada proporciona:

$$F(xy)-F(1) = y(F(x)-F(1)) + x(F(y)-F(1))$$

para todos $x\geq 1, y\geq 1$ .

Diferenciándolo con respecto a $x$ obtenemos:

$$yf(xy)=yf(x)+F(y)-F(1).$$

Diferenciando esta nueva relación con respecto a $y$ obtenemos:

$$f(xy)+yxf'(xy) = f(x)+f(y).$$

Entorno en él $y=1$ tenemos:

$$f(x)+xf'(x)=f(x)+3$$

para todos $x\geq 1$ .

Así que:

$$xf'(x)=3,$$

que, junto con $f(1)=3$ nos da:

$$f(x) = 3 \ln x +3$$

para todos $x\geq 1$ . En particular, $f(e)=6$ .