$(K[x,y,z]/(x^2+y^3+z^7))_{(x,y,z)}$ es un UFD.

Question

¿Cómo puedo mostrar dado un campo $K$ que $(K[x,y,z]/(x^2+y^3+z^7))_{(x,y,z)}$ ¿es un UFD?

Encontré esa afirmación en una página de la Wikipedia, así que no estoy 100% seguro de que sea cierta, ¿quizás lo sea sólo para algún campo?

Answer 1

Set $A=K[X,Y,Z]/(X^2+Y^3+Z^7)$ y denotar por $x,y,z$ las clases de residuos de $X,Y,Z$ modulo $(X^2+Y^3+Z^7)$ . Tenemos que $A/zA\simeq K[X,Y]/(X^2+Y^3)$ es un dominio integral, por lo que $z\in A$ es un elemento primo.

Ahora veamos $A[z^{-1}]$ . Tenemos $A[z^{-1}]=K[x,y,z][z^{-1}]$ . Además, si $x'=x/z^3$ y $y'=y/z^2$ obtenemos $z=-(x'^2+y'^3)$ . Esto nos muestra que $A[z^{-1}]=K[x',y'][z^{-1}]$ y esto es un UFD ya que $x',y'$ son algebraicamente independientes sobre $K$ . Ahora usa El criterio de Nagata para la factorialidad .