¿Por qué el espacio de fase de un péndulo simple está definido en un cilindro y no $\mathbb{T}^{2}$ ?

Question

Tomemos la ecuación del péndulo $\ddot{x} = -\sin x$ . Aquí $x \in \mathbb{T}^{1}$ . Ahora se reescribe como un sistema de primer orden acoplado $$\dot{y} = -\sin x, \quad \dot{x}=y.$$

Intuitivamente sabemos que $y$ corresponde a la velocidad, cuya norma (es decir, la velocidad) puede ser tan grande o pequeña como queramos, así $y \in \mathbb{R}$ . Por lo tanto, el espacio de fase del péndulo es el cilindro $\mathbb{T}^{1} \times \mathbb{R}$ .

Sin embargo, $x(t) = x(t+t_{0})$ durante algún tiempo $t_{0}$ y por la definición $ y =\dot{x}$ también esperamos $y(t)=y(t+t_{0})$ es decir, podemos decir $y \in \mathbb{T}^{1}$ .

¿Es esto una contradicción? ¿Por qué definimos $y$ para estar en $\mathbb{R}$ y no en $\mathbb{T}$ ?

Answer 1

$x\in \mathbb{T}^1$ denota la estructura del propio espacio de fase, no el hecho de que el movimiento en función del tiempo sea periódico. Cualquier movimiento arbitrario del péndulo puede representarse en el espacio de fases, no sólo los periódicos (en el tiempo). Tenemos $x\in \mathbb{T}^1$ porque puedes girar el péndulo alrededor de la bisagra durante un ciclo completo y acabas con el mismo estado. No se puede decir lo mismo de $y$ .

Answer 2

1. Si el Formulación lagrangiana tiene espacio de configuración $M$ y el Transformación de Legendre es no singular, entonces el espacio de fase correspondiente en el Formulación hamiltoniana es el haz de cotangentes $T^{\ast}M$ . (Para el péndulo el espacio de configuración $M\cong S^1$ es un círculo).

2. Para los modelos con 2 toros $S^1\times S^1$ como espacio de fase, véase este Puesto de Phys.SE.

Answer 3

La mecánica lagrangiana se define en un haz tangente, el haz tangente del espacio de configuración. Para el péndulo el espacio de configuración es $S^1$ el círculo. Su haz tangente es trivial, por lo que es $S^1 \times \mathbb R$ .

Se puede pasar a la descripción hamiltoniana, que vive en el haz cotangente -- también es trivial, por lo que también es $S^1 \times \mathbb R$ . Este es el espacio de condiciones iniciales . El movimiento real será periódico en ambas variables, pero eso es otra cosa.

(Existe algo llamado toros invariantes, donde el movimiento casi periódico traza un toro en el espacio de fase. No estoy seguro de que eso se aplique al péndulo).

Answer 4

Considera todos los movimientos posibles del péndulo, $x=x_I(t)\:, \dot{x}=\dot{x}_I(t)$ donde $I=\{x_0, \dot{x}_0\}$ denota las condiciones iniciales de esa solución de las ecuaciones de Hamilton. Variando $I$ tienes todas las soluciones posibles.

Pues bien, hay una asimetría evidente entre las dos variables hamiltonianas. $x$ siempre se puede tomar en un círculo, como $-\pi \leq x \leq +\pi$ es suficiente para describir todos los movimientos del péndulo independientemente de $I$ . Un intervalo mayor sería redundante para describir las posiciones del péndulo. A la inversa, no hay un intervalo suficientemente grande $[-\dot{X}, \dot{X}]$ que puede incluir tous valores de tous funciones $\mathbb R \ni t \mapsto \dot{x}_I(t)$ para cada condición inicial $I$ . Este hecho se mantiene incluso si cada una de estas curvas $\mathbb R \ni t \mapsto \dot{x}_I(t)$ es periódica.