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Existe un número natural para que todas las sumas y diferencias de sus pares de factores son los principales?

El 8 pares de factores, por ejemplo, de 462 son

$((1, 462), (2, 231), (3, 154), (6, 77), (7, 66), (11, 42), (14, 33), (21, 22))$.

De los 16 enteros no negativos que son las sumas y diferencias de estos pares (tales como $462+1=463$, $462-1=461$, $21+22=43$, y $22-21=1$), 15 de ellos son los números primos. (El único no-prime es $22-21=1$.)

Hay un número entero para que todos los $2n$ sumas y diferencias de sus $n$ factor de pares son los números primos?

Obviamente cualquier entero necesita ser el número entre un gemelo primer par, y necesita ser $ = 2$ (mod 4), pero eso es todo lo que se me ocurrió.


Entre los números enteros de menos de $10^7$, 462 parece tener la exclusiva de la más alta fracción de primer sumas y las diferencias de pares de factores, con $15/16$. Si no hay ningún número entero con una fracción de 1 (la pregunta anterior), puede haber con una mayor fracción de 15/16?

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richard Puntos 1

Parece que el siguiente.

Hay un siguiente manera recursiva a la búsqueda de la entero $N$.

$N=1\cdot k_1$. Ya que todos los números de $k_1\pm 1$ es de los primeros, uno de estos números es impar. Así tenemos

$N=1\cdot 2\cdot k_2$. Ya que todos los números $2k_2\pm 1$, $k_2\pm 2$ es de los primeros, si $k_2$ no es divisible por $3$, entonces uno de estos números es divisible por $3$, por lo que es igual a $3$. Este caso es considerado por separado, y en el resto de los casos que hemos

$N=1\cdot 2\cdot 3\cdot k_3$. Ya que todos los números $6k_3\pm 1$, $3k_3\pm 2$, $2k_3\pm 3$, $k_3\pm 6$ es de los primeros, si $k_2$ no es divisible por $7$, entonces uno de estos números es divisible por $7$, por lo que es igual a $7$. Este caso es considerado por separado, y en el resto de los casos que hemos

$N=1\cdot 2\cdot 3\cdot 7\cdot k_4$. Ya que todos los números $42k_4\pm 1$, $21k_4\pm 2$ es de los primeros, si $k_4$ no es divisible por $5$, entonces uno de estos números es divisible por $5$, por lo que es igual a $5$. Este caso es considerado por separado, y en el resto de los casos que hemos

$N=1\cdot 2\cdot 3\cdot 7\cdot 5 \cdot k_5$, y así sucesivamente...

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