Representación en un campo de división y cambio de base

Question

No entiendo la siguiente proposición en ''curso introductorio sobre gavillas l-ádicas y su teoría de ramificación en curvas'' de Kindler y Rülling (ver http://www.mi.fu-berlin.de/users/kindler/documents/madrid.pdf )

Proposición 4.19. Sea $G$ sea un grupo finito y $E$ un campo. Si $E$ es un campo divisible (por ejemplo, algebraicamente cerrado), entonces toda representación irreducible de $G$ en $E$ viene a través del cambio de base de una extensión finita $E_0$ del campo primo.

Dejemos que $V$ un irreducible de dimensión finita $E$ -representación de $G$ . Sea $\mathbf{F}$ el campo primo de $E$ . ¿Significa que existe una extensión finita $E_0$ de $\mathbf{F}$ y un $E_{0}$ -representación $W$ de $G$ tal que $$ V \simeq W \otimes_{E_{0}} E? $$

Answer 1

Sí, eso es exactamente lo que significa.

Answer 2

La declaración no es clara para mí. Deje que $G$ sea el grupo cíclico con $3$ elementos $1,\sigma,\sigma^2$ . Luego está la representación $$\rho : G \to GL_1(\mathbf{F}_{5}(\zeta_3)), \qquad\rho(\sigma^k) = \zeta_3^k$$ (donde $\mathbf{F}_{5}(\zeta_3) =\mathbf{F}_{5^2}$ )

que se eleva a una representación $$\tilde{\rho} :G \to GL_2(\mathbf{F}_{5}),\qquad \tilde{\rho}(\sigma^k) = \scriptstyle \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

( $\scriptstyle\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ es la matriz compañera de $1+x+x^2$ el polinomio mínimo de $\zeta_3$ )

Ese es el tipo de cosas que puedes obtener del producto tensorial. Nota: $\tilde{\rho} : G \to GL_2(\mathbf{F}_{5})$ es irreducible, y se convierte en reducible cuando se ve como una representación $G \to GL_2(\overline{\mathbf{F}_{5}})$ . Por eso tiene sentido mirar $E$ algebraicamente cerrado.