Interior de productos arbitrarios

Question

$\newcommand{\Int}{\operatorname{Int}}$ Necesito ayuda para demostrar que en el espacio de productos $R^\omega$ , $\Int((0,1)^\omega)=\emptyset$ Por lo tanto, $$\Int\left(\prod A_ {\alpha}\right)\neq \prod \Int\left( A_ {\alpha}\right)$$ no se cumple, donde $\alpha \in A$ .

Gracias.

Answer 1

Si $U$ es cualquier subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}^\omega$ contiene algún subconjunto abierto de la base estándar de ese producto, concretamente un conjunto de la forma $\prod_{\alpha} U_\alpha$ , donde $U_\alpha = \mathbb{R}$ para todos los casos, excepto para un número finito de $\alpha$ y es igual a algún subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}$ de lo contrario. Dicho conjunto nunca puede ser un subconjunto de $(0,1)^\omega$ .

Answer 2

$\Bbb R^\omega$ tiene una base de conjuntos abiertos de la forma $B=\prod_{n\in\omega}U_n$ donde cada $U_n$ está abierto en $\Bbb R$ y $$\operatorname{supp}(B)=\{n\in\omega:U_n\ne\Bbb R\}$$ es finito. $\newcommand{\Int}{\operatorname{Int}}$ Supongamos que $\Int\left((0,1)^\omega\right)\ne\varnothing$ entonces existe un conjunto abierto básico no vacío $B\subseteq\Int\left((0,1)^\omega\right)$ . Sea $x\in B$ sea arbitraria, fije $m\in\omega\setminus\operatorname{supp}(B)$ y definir $y\in\Bbb R^\omega$ por

$$y_k=\begin{cases} x_k,&\text{if }k\ne m\\ 2,&\text{if }k=m\;. \end{cases}$$

¿Ves la contradicción aquí?