Quiero demostrar que ninguno de los números $1_{(9)},11_{(9)},111_{(9)},1111_{(9)}\cdots$ son primos donde $x_{(9)}$ significa que el número $x$ está en la base $9$ . Mi primer intento fue probar la inducción matemática. $V(0)$ funciona porque $1$ no es un primo. Pero entonces no pude probar el paso de inducción de todos modos. $$1+9+81+...+9^n \text{ is not prime}\Rightarrow 1+9+81+...+9^{n+1} \text{ is not prime}$$ Mi siguiente intento fue demostrarlo con series geométricas. Sea $$s_n=\sum_{k=1}^n9^n$$ Estamos probando $\forall n\in\Bbb{N}:s_n \text{ is not prime}$ . utilizando la suma de series geométricas $$s_n=\frac{9^n-1}{8}$$ Pero aquí estoy atascado de nuevo y no tengo ni idea de cómo demostrar que esto no puede ser primordial para cualquier $n\in\Bbb{N}$ .
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Sugerencia $$9^n-1=(3^n)^2-1=(3^n-1)(3^n+1)$$
Ahora, $3^n-1, 3^n+1$ son dos números pares consecutivos, por lo que uno es divisible por $4$ y el otro por 2. Consideremos los dos casos (cuando $4|3^n-1$ y $4|3^n+1$ ) y escribir $\frac{9^n-1}{8}$ como producto de dos enteros. Explica por qué ninguno de los dos puede ser 1.
