Estructura de la representación unitaria $L^2(N/M)$ cuando $N$ es un grupo Lie nilpotente

Question

Hola a todos,

Soy nuevo en esto (aunque parece que llego tarde); así que perdóname si esta no es tu pregunta favorita:

Estoy tratando de entender la estructura (por ejemplo, la descomposición) de la representación unitaria $L^2(N/M)$ donde $N$ es un grupo de Lie nilpotente que actúa por traslación a la izquierda en este espacio de Hilbert (procedente de la medida invariante en N/M). Sorprendentemente, no he podido encontrar ninguna referencia adecuada. ¿Sabe alguien aquí dónde se puede buscar una respuesta en la literatura?

Answer 1

La representación que está viendo es $\mathrm{Ind}_M^N1$ y como tal, su descomposición en irreducibles se entiende muy bien utilizando el método de la órbita de Kirillov. (Esencialmente, los irreducibles que entran corresponden a las órbitas coadyuvantes en la imagen del mapa de momentos $T^*(N/M)\to\mathfrak n^*$ .)

Yo diría que el documento básico sobre el tema es este de Corwin, Greenleaf y Grélaud. Tiene referencias a la obra anterior del propio Kirillov, y encontrará más en la obra de Mathscinet referencias de avance a las reseñas que lo citan.

Answer 2

Es $N$ o $M$ ¿conectado? ¿simplemente conectado? Es $N$ ¿conmutativo? Ronald Lipsman ha resuelto la descomposición de las representaciones cuasiregulares de los grupos de Lie en muchos escenarios. Encontrarás sus artículos muy legibles. Todos ellos están disponibles en Google.