¿Cuál es la diferencia entre la mecánica newtoniana y la mecánica lagrangiana en pocas palabras?

Question

¿Qué es la mecánica lagrangiana y cuál es la diferencia con la mecánica newtoniana? Soy matemático/informático, no físico, así que estoy buscando algo parecido a la explicación de la formulación lagrangiana de la mecánica que se le daría a alguien que acaba de terminar un semestre de física universitaria.

Cosas que espero que me expliquen:

• ¿Cuál es la diferencia general en términos sencillos? Por lo que he leído hasta ahora, parece que la mecánica newtoniana adopta un punto de vista más local de "causa y efecto"/"aplicar una fuerza, obtener una reacción", mientras que la mecánica lagrangiana adopta un punto de vista más global de "minimizar esta cantidad". O, por decirlo de forma más axiomática, la mecánica newtoniana parte de las tres leyes del movimiento de Newton, mientras que la mecánica lagrangiana parte del principio de mínima acción.
• ¿En qué se diferencian los enfoques desde el punto de vista matemático/cuando se trata de resolver un problema? Algo parecido a lo anterior, supongo que las soluciones newtonianas empiezan dibujando un montón de vectores de fuerza, mientras que las soluciones lagrangianas empiezan definiendo alguna función (¿calculando la lagrangiana?) que quieres minimizar, pero realmente no tengo ni idea.
• ¿Cuáles son los pros y los contras de cada enfoque? ¿Qué cuestiones se resuelven de forma más natural en cada uno de ellos? Por ejemplo, creo que el principio del mínimo tiempo de Fermat es algo que se explica de forma muy natural en la mecánica lagrangiana ("minimizar el tiempo que se tarda en llegar entre estos dos puntos"), pero es más difícil de explicar en la mecánica newtoniana, ya que requiere conocer el punto final.

Answer 1

Se trata de un marco de referencia. En la física newtoniana, uno se sitúa en un punto y observa cómo se mueve algo en relación con el punto de observación estacionario en función de las fuerzas aplicadas. En la física lagrangiana usted es el algo que se mueve y que experimenta las fuerzas. El teorema del transporte de Reynolds relaciona los dos marcos de referencia.

Answer 2

Según Newton:

$r(t+dt)=r(t)+v(t)dt$

y

$\dot{r}(t+dt)=\dot{r}(t)+\frac{F(t)}{m}dt$ .

Como puedes ver, no hay libertad para elegir la trayectoria - está determinada con los valores instantáneos de la fuerza y la velocidad. El "futuro" se determina con el "presente".

Una partícula nunca "elige" la trayectoria óptima para ir desde una posición conocida en el pasado $r(t_1)$ a una posición conocida en el futuro $r(t_2)$ . Los datos futuros no intervienen en la dinámica. Pero el "principio de mínima acción", además de buenas ecuaciones, se basa en los datos futuros $r(t_2)$ que es matemáticamente posible pero físicamente sin sentido.

No existe un "principio de mínima acción" que proceda únicamente de los datos iniciales. En cambio, las ecuaciones de Newton con los datos iniciales son suficientes para resolver los problemas físicos ;-)