¿Cuál es la diferencia entre la mecánica newtoniana y la mecánica lagrangiana en pocas palabras?

Question

¿Qué es la mecánica lagrangiana y cuál es la diferencia con la mecánica newtoniana? Soy matemático/informático, no físico, así que estoy buscando algo parecido a la explicación de la formulación lagrangiana de la mecánica que se le daría a alguien que acaba de terminar un semestre de física universitaria.

Cosas que espero que me expliquen:

• ¿Cuál es la diferencia general en términos sencillos? Por lo que he leído hasta ahora, parece que la mecánica newtoniana adopta un punto de vista más local de "causa y efecto"/"aplicar una fuerza, obtener una reacción", mientras que la mecánica lagrangiana adopta un punto de vista más global de "minimizar esta cantidad". O, por decirlo de forma más axiomática, la mecánica newtoniana parte de las tres leyes del movimiento de Newton, mientras que la mecánica lagrangiana parte del principio de mínima acción.
• ¿En qué se diferencian los enfoques desde el punto de vista matemático/cuando se trata de resolver un problema? Algo parecido a lo anterior, supongo que las soluciones newtonianas empiezan dibujando un montón de vectores de fuerza, mientras que las soluciones lagrangianas empiezan definiendo alguna función (¿calculando la lagrangiana?) que quieres minimizar, pero realmente no tengo ni idea.
• ¿Cuáles son los pros y los contras de cada enfoque? ¿Qué cuestiones se resuelven de forma más natural en cada uno de ellos? Por ejemplo, creo que el principio del mínimo tiempo de Fermat es algo que se explica de forma muy natural en la mecánica lagrangiana ("minimizar el tiempo que se tarda en llegar entre estos dos puntos"), pero es más difícil de explicar en la mecánica newtoniana, ya que requiere conocer el punto final.

Answer 1

En la mecánica newtoniana hay que utilizar principalmente el sistema de coordenadas rectangulares y considerar todas las fuerzas de coacción. El esquema de Lagrange evita las consideraciones de las fuerzas de restricción hábilmente y se puede utilizar cualquier conjunto de "coordenadas generalizadas" como el ángulo, la distancia radial, etc. consistente con las relaciones de restricción. El número de esas coordenadas generalizadas es el mismo que el número de grados de libertad del sistema.

En todos los sistemas dinámicos elegimos arbitrariamente algunas coordenadas generalizadas consistentes con las restricciones del sistema. En la mecánica newtoniana, la diferencia entre la energía cinética y la potencial del sistema nos da la llamada Lagrangiana. Entonces tenemos n número de ecuaciones diferenciales. $n$ es el número de grados de libertad del sistema.

La principal ventaja de la mecánica lagrangiana es que no tenemos que considerar las fuerzas de las restricciones y, dadas las energías cinética y potencial totales del sistema, podemos elegir algunas coordenadas generalizadas y calcular ciegamente la ecuación de los movimientos de forma totalmente analítica, a diferencia del caso newtoniano, en el que hay que considerar las restricciones y la naturaleza geométrica del sistema.

Answer 2

Para responder a la segunda parte de tu pregunta, pondré un ejemplo clásico de movimiento armónico. La energía potencial de un muelle es $U=\frac{1}{2}kx^2$ , donde $k$ es la constante del muelle y $x$ es el desplazamiento.

Mecánica Newtoniana:

$F=m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{-dU}{dx}=-kx$

Así que $m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$ que es una ecuación diferencial fácil.

Mecánica Lagrangiana:

Primero conocemos las ecuaciones de Euler-Lagrange $\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ identificamos las coordenadas $q=x$ y definimos nuestro Lagrangiano $L=T-V$ ( $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial).

$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$

$V=\frac{1}{2}kx^2$

Así que introducimos todo esto en nuestra pequeña ecuación de Euler Lagrange y, resolviendo a través de ella, se obtiene (redoble de tambores), $m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$ ¡!

Conclusión

Así que después de todo esto obtenemos la misma ecuación que con la mecánica newtoniana y con mucho más trabajo ¿no? En este ejemplo probablemente, y en la mayoría de los otros sistemas simples. Sin embargo, la mecánica lagrangiana tiene algunas aplicaciones muy potentes.

Consideremos el siguiente sistema: Tienes varios péndulos conectados por resortes, y cada péndulo comienza con alguna posición y velocidad inicial. ¿Cómo se resuelve este sistema? En la mecánica newtoniana, resulta extremadamente complejo calcular todas las fuerzas implicadas. Sin embargo, si adoptamos una perspectiva lagrangiana, gran parte del trabajo duro queda resuelto, ya que podemos definir fácilmente $q_i=\theta_i$ , $\theta$ siendo el desplazamiento angular de cada uno de los péndulos. Y en lugar de tener que lidiar con las distintas fuerzas, sólo tienes que lidiar con la energía potencial y cinética.

Una aplicación aún más importante, exponencialmente más importante, es la de la teoría de campos clásica (sé que tiene algunas conexiones importantes con la QFT, pero no estoy en condiciones de comentarlas con conocimiento de causa). El electromagnetismo y la relatividad general son dos excelentes ejemplos. Se pueden derivar las ecuaciones de Maxwell por completo a partir del Lagrangiano electromagnético ( $L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+A_{\mu}J^\mu$ ) y se pueden derivar resultados extremadamente importantes en relatividad general a partir de la Acción de Hilbert ( $S_H=\int \sqrt{-g}Rd^nx$ ) y principios variacionales similares.

Answer 3

• La mecánica lagrangiana puede derivarse del principio de mínima acción o de la mecánica newtoniana. No se trata de una diferencia fundamental.
• Bastante. En la mecánica newtoniana se empieza dibujando un montón de vectores y luego se enumeran las ecuaciones. En la mecánica lagrangiana primero identificas todas las restricciones, eliges las coordenadas generalizadas, luego escribes el lagrangiano y lo introduces en la ecuación lagrangiana $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{dL}{dq_i}=0$

• • La mecánica lagrangiana es mejor cuando hay muchas restricciones. Cuantas más restricciones, más sencillas son las ecuaciones lagrangianas, pero más complejas se vuelven las newtonianas. La mecánica lagrangiana no es muy adecuada para sistemas no ideales o no holonómicos, como los sistemas con fricción.

  • La mecánica lagrangiana también es mucho más extensible. Puede permanecer casi de la misma forma en hidrodinámica, electrodinámica, circuitos eléctricos, relatividad especial y general, etc.

  • El principio del menor tiempo está estrechamente relacionado con el principio de la menor acción, pero en realidad son muy diferentes. No veo cómo se puede derivar el primero del segundo.

Answer 4

La formulación lagrangiana asume que en un sistema, las fuerzas de las restricciones no realizan ningún trabajo, sólo reducen el número de grados de libertad del sistema. ¡¡¡Así que no es necesario conocer la forma de fuerza que tienen las fuerzas de restricción a diferencia de la mecánica newtoniana!!!

Answer 5

La principal ventaja de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana sobre la mecánica newtoniana es que podemos tratar con cantidades escalares, energía, mientras que en la segunda tenemos que tratar con cantidades vectoriales. Además, con la mecánica lagrangiana y hamiltoniana podemos acercarnos fácilmente a cualquier sistema (por ejemplo, mecánico, eléctrico, óptico, etc.). Pero este fácil acceso no se puede lograr con la MECÁNICA NEWTONIANA.