Demostrar que $\exists\ b \in (0,9)$ tal que $\int_{0}^{b}\frac{x+x^{\frac{1}{7}}-4}{9-x}\,dx = 0$

Question

¿Cómo se resuelve este tipo de problema?

Demostrar que $\exists\ b \in (0,9)$ s.t. $$\int_{0}^{b}\frac{x+x^{\frac{1}{7}}-4}{9-x}\,dx = 0.$$

He intentado estudiar la función definida por la integral buscando algunas simetrías pero ese camino no ha tenido éxito.

Answer 1

Sí, considerando la función integral: $$F(t)=\int_{0}^{t}\frac{x+x^{\frac{1}{7}}-4}{9-x}\,dx$$ es un buen comienzo. Ahora muestra eso:

1) $F$ es continua en $[0,9)$ ,

2) $\exists t_1\in (0,1)$ tal que $F(t_1)<0$ ,

3) $\exists t_2\in (8,9)$ tal que $F(t_2)>0$ ,

4) aplicar el Teorema del valor intermedio a $F$ con respecto al intervalo $[t_1,t_2]$ .