Resolver un límite utilizando sólo límites especiales y manipulaciones algebraicas

Question

Me pregunto cómo resolver este límite:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan^3((1+x^{\frac 23})^\frac13-1)+\ln(1+\sin^2(x))}{\arctan^2(3x)+5^{x^4}-1}(\sqrt{\frac{1+x+x^2}{x^2}}-\frac 1x)$$

Con mis nociones actuales que son:

-Límites especiales

-Un límite de una suma/producto/cociente de funciones es la suma/producto/cociente de límites de esas funciones si las funciones convergen (y también si la función denominador no converge a 0 en el caso del cociente)

-Nociones básicas como $+\infty\cdot a=+\infty, a>0$ etc.

-Teorema de comparación

-Manipulaciones algebraicas

A menudo mi profesor hace este "truco":

"Si tenemos que calcular: $\lim_\limits{x \to x_0} s(x)c(x)$ . Donde $s$ es una función simple que sabemos que es convergente a un valor distinto de cero y $c$ es una función complicada cuyo límite es desconocido. Podemos escribir esto: $$ \lim_\limits{x \to x_0} s(x)c(x)=\lim_\limits{x \to x_0} s(x)\lim_\limits{x \to x_0} c(x)$$ Si descubrimos entonces que: $$\lim_\limits{x \to x_0} c(x)\in \mathbb{R}$$ Entonces nuestro pasaje anterior se justifica. Si descubrimos que: $$\lim_\limits{x \to x_0} c(x)\in \pm \infty$$ Entonces nuestro pasaje anterior no está justificado formalmente, pero no afecta al límite (es una especie de abuso de notación). Si descubrimos que $$\not\exists \lim_\limits{x \to x_0} c(x)$$ Entonces nuestro paso no está justificado y puede haber afectado al resultado del límite"

Entendí un poco por qué esto funciona (es una especie de justificación retrospectiva) pero me preguntaba si había una manera más formal de describir esto, porque cuando trato de hacer límites siempre trato de justificar todos los pasos que hago y ser formal. Pero volvamos al límite inicial y a mi intento:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan^3((1+x^{\frac 23})^\frac13-1)+\ln(1+\sin^2(x))}{\arctan^2(3x)+5^{x^4}-1}(\sqrt{\frac{1+x+x^2}{x^2}}-\frac 1x)$$

Intentemos calcular primero:

$$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{\frac{1+x+x^2}{x^2}}-\frac 1x=\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x+x^2}(x+1)$$ Ahora utilizo un límite especial conocido: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x+1}{2}=\frac 12$$ Ahora utilicemos el truco de mi profesor y esperemos que el límite restante exista, de lo contrario estamos en el punto de partida (también por eso a veces me siento un poco inseguro haciendo esto se siente como una apuesta): $$\frac 12\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan^3((1+x^{\frac 23})^\frac13-1)+\ln(1+\sin^2(x))}{\arctan^2(3x)+5^{x^4}-1}$$

Y ahora estoy atascado porque veo muchos límites especiales útiles que podría aplicar pero siempre llegan a un $$0 \cdot \infty$$ forma donde no puedo aplicar el "truco". A veces siento que estoy complicando todo por ser demasiado formal, pero realmente quiero entender por qué puedo aplicar algo y no quiero que se convierta en un automatismo antes de entenderlo totalmente.

Answer 1

$$\lim_{x\rightarrow0^+}\left(\sqrt{\tfrac{1+x+x^2}{x^2}}-\tfrac{1}{x}\right)=\lim_{x\rightarrow0^+}\tfrac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0^+}\tfrac{x+x^2}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=\lim_{x\rightarrow0^+}\tfrac{1+x}{\sqrt{1+x+x^2}+1}=\frac{1}{2},$$ $$\tan^3\left(\sqrt[3]{1+x^{\frac{2}{3}}}-1\right)=\tan^3\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^{\frac{2}{3}}}+1}=$$ $$=\left(\frac{\tan\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^{\frac{2}{3}}}+1}}{\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^{\frac{2}{3}}}+1}}\right)^3\cdot\frac{\left(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^{\frac{2}{3}}}+1}\right)^3}{x^2}\cdot x^2\sim 1\cdot\frac{1}{27}\cdot x^2.$$ $$\ln(1+\sin^2x)=\frac{\ln(1+\sin^2x)}{\sin^2x}\cdot\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot x^2\sim1\cdot1^2\cdot x^2,$$ $$\arctan^23x=\left(\frac{\arctan3x}{3x}\right)^2\cdot9x^2\sim1^2\cdot9x^2$$ y $$5^{x^4}-1=\frac{e^{x^4\ln5}-1}{x^4\ln5}\cdot x^4\ln5\sim1\cdot x^4\ln5.$$ Ahora, $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan^3((1+x^{\frac 23})^\frac13-1)+\ln(1+\sin^2(x))}{\arctan^2(3x)+5^{x^4}-1}\left(\sqrt{\frac{1+x+x^2}{x^2}}-\frac 1x\right)=$$ $$=\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{\tan^3((1+x^{\frac 23})^\frac13-1)}{x^2}+\frac{\ln(1+\sin^2(x))}{x^2}}{\frac{\arctan^23x}{x^2}+\frac{5^{x^4}-1}{x^2}}\lim_{x\rightarrow0^+}\left(\sqrt{\frac{1+x+x^2}{x^2}}-\frac 1x\right)=$$ $$=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{\tan^3((1+x^{\frac 23})^\frac13-1)}{x^2}+\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln(1+\sin^2x)}{x^2}}{\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{\arctan^23x}{x^2}+\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{5^{x^4}-1}{x^2}}\lim_{x\rightarrow0^+}\left(\sqrt{\frac{1+x+x^2}{x^2}}-\frac 1x\right)=$$ $$=\frac{\frac{1}{27}+1}{9+0}\cdot\frac{1}{2}=\frac{14}{243}.$$ Hemos utilizado los siguientes límites estándar: $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.$$ Además, utilizamos ese $$\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}.$$

Además, utilizamos el siguiente dato útil.

Dejemos que $f$ es una función continua y existe $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x).$ Así: $$\lim_{x\rightarrow a} f(g(x))=f\left(\lim_{x\rightarrow a}g(x)\right).$$

Por ejemplo, $$\lim_{x\rightarrow0}\sqrt[3]{1+x}=\sqrt[3]{\lim_{x\rightarrow0}(1+x)}=1.$$

Answer 2

Este es un ejemplo típico que está diseñado para intimidar a los estudiantes.

Ya ha observado que este último factor tiende a $1/2$ . Sin asumir nada sobre el resto de la expresión se puede mover este factor fuera del límite para obtener $$\frac{1}{2}\lim_{x\to 0^{+}} \text{ (rest of the expression)} $$ La siguiente parte es simplificar el denominador. Escribamos $$\arctan^23x+5^{x^4}-1=(9x^2)\left(\left(\frac{\arctan 3x}{3x}\right)^2+\frac{5^{x^4}-1}{x^4}\cdot\frac{x^2}{9}\right)$$ La expresión entre paréntesis grandes tiende a $$1^2+(\log 5)\cdot 0=1$$ y, por lo tanto, este factor puede ser sustituido con seguridad por $1$ y el denominador se simplifica a $9x^2$ .

Como el numerador está formado por dos términos, podemos dividir la expresión en dos partes, la más sencilla de las cuales es $$\frac{\log(1+\sin^2x)}{9x^2}=\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{\sin x} {x} \right) ^2\cdot \frac{\log(1+\sin^2x)}{\sin^2x}$$ y esto tiende a $(1/9)\cdot 1^2\cdot 1=1/9$ . Por lo tanto, su límite deseado es igual a $$\frac{1}{18}+\frac{1}{18}\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\tan^3((1+x^{2/3})^{1/3}-1)}{x^2}$$ La expresión bajo límite anterior puede escribirse como $$\left(\frac{\tan((1+x^{2/3})^{1/3}-1)}{(1+x^{2/3})^{1/3}-1}\right)^3\cdot\left(\frac{(1+x^{2/3})^{1/3}-1}{(1+x^{2/3})-1}\right)^3$$ que tiende a $1^3(1/3)^3=1/27$ . Por lo tanto, el límite deseado es $$\frac{1}{18}+\frac{1}{18}\cdot\frac{1}{27}=\frac{14}{243}$$

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El truco de tu profesor funciona y ha sido comentado por mí en este puesto . Aparte de esto se necesita la regla del límite de composición de funciones.

Teorema : Si $$\lim_{x\to a} g(x) =b, \lim_{x\to b} f(x) =L$$ y $g(x) \neq b$ como $x\to a$ entonces $$\lim_{x\to a} f(g(x)) =L$$