Estoy trabajando en un problema de mi libro de texto sobre los multiplicadores de Lagrange. Creo que ya los tengo dominados, pero tengo curiosidad por este problema en concreto. Sea \begin{align} f\left(x,y\right)=x^2-y^2\tag{1},\\ \text{and}\;g\left(x,y\right):=2y-x^2=0.\tag{2} \end{align} La primera parte es fácil. Como $g$ es la "restricción" como ellos la llaman, tenemos \begin{align} \vec{\nabla}f\left(x,y\right)&=\begin{bmatrix}2x\\-2y\end{bmatrix},\tag{3}\\\lambda\vec{\nabla}g\left(x,y\right)&=\begin{bmatrix}-2x\lambda\\2\lambda\end{bmatrix}.\tag{4} \end{align} Esto nos da el conjunto de ecuaciones \begin{align} 2y-x^2&=0,\tag{5}\\ 2x&=-2x\lambda,\tag{6}\\ -2y&=2\lambda\implies \lambda=-y,\tag{7} \end{align} y sustituyendo $\left(7\right) $ en $\left(6\right)$ nos da $y=1$ , lo que significa $x=\pm\sqrt{2}$ . Entonces, poniendo estos puntos en la ecuación original $\left(1\right)$ me da $\left\{\left(\sqrt{2},1,1\right),\left(-\sqrt{2},1,1\right)\right\}$ y he hecho un gráfico para confirmarlo.
Pero ahora, ¿qué pasa con $\left(0,0,0\right)$ ? Parece ser un mínimo relativo cuando grafico estas dos superficies, pero como hago para que aparezca en mis Multiplicadores de Lagrange (a menos que no se haga de esa manera). En un principio observo que $\left(0,0,0\right)$ satisface ambas ecuaciones $\left(1\right)$ y $\left(2\right)$ Sin embargo. Pero no parece que esto sea un impulso para estar solo en la mina.
Gracias por su tiempo,
