Al principio, cuando se aprende un concepto matemático, es probable que haya un poco de desconexión entre su intuición y la definición. Seguir preguntas como ésta ayuda mucho. Aquí tienes respuestas que proporcionan una función ondulada para un contraejemplo y un acercamiento a la prueba para una derivada continua.
Este es otro punto de vista. Cuando se piensa en $f'(a)>0$ comúnmente te imaginas todos los cocientes de diferencia $$\frac{f(y)-f(x)}{y-x} $$ como positivo para los intervalos $[x,y]$ cerca de $a$ . Pero el ejemplo aquí debería recordarle que $f'(a)>0$ sólo presta atención a los intervalos $[x,y]$ que se encuentran a caballo entre $a$ es decir, intervalos con $x \leq a \leq y$ . No todos los intervalos se cierran.
El matemático italiano Guiseppe Peano tuvo una respuesta diferente a esta situación. Consideraba que la derivada ordinaria no transmitía la idea intuitiva correcta. ¿Por qué una "derivada" positiva no iba a implicar un aumento cerca del punto? Introdujo lo que llamó una derivado estricto (hoy en día llamado fuerte derivado o sin montar derivado por la mayoría de la gente). Definir $f^\sharp(a)$ a ser el límite $$ f^\sharp(a) = \lim_{x,y\to a, x\not=y} \frac{f(y)-f(x)}{y-x} $$ donde ahora todos los intervalos $[x,y]$ se están considerando. Para esta derivada más fuerte la respuesta a su pregunta es positiva: si $f^\sharp(a)>0$ entonces, efectivamente, $f$ es creciente en alguna vecindad del punto $a$ . Así que tiene razón, pero se basó en la derivada equivocada para suministrar su conclusión.
La referencia original es
Giuseppe Peano, Sobre la definición de la derivación, Mathesis Recueil Mathematique (2) 2 (1892), 12-14.
Peano esperaba que la derivada estricta fuera útil en la enseñanza del cálculo, pero eso no ha funcionado. Sin embargo, se pueden encontrar muchos trabajos que estudian esta derivada. Es una buena introducción a la idea de que hay numerosas formas útiles de definir una derivada, además de la tradicional del cálculo.
