Todo complejo de cadena es cuasi-isomorfo a un $\mathcal J$ -complejo

Question

He encontrado esto en "Álgebra y Topología" de Schapira, pero no soy capaz de demostrarlo:

Supongamos que $\mathcal J$ es una familia cogeneradora en una categoría abeliana $\mathbf A$ . Entonces, para cualquier complejo positivo $X^\bullet\in \text{Ch}(\mathbf A)$ existe un complejo positivo hecho por $\mathcal J$ -y un cuasi isomorfismo $X^\bullet\to J^\bullet$ .

Puedo demostrarlo asumiendo una hipótesis adicional, a saber $\mathcal J$ cerrado por subobjetos, y no encuentro una referencia en ningún libro que tenga...

Answer 1

Mi construcción favorita se debe a Bernhard Keller, Complejos de cadenas y categorías estables , Lemma 4.1 b) en la página 14; el artículo está disponible en su página web (el lema está formulado usando injectivos, pero la inyectividad no se usa en el argumento). He dado el mismo argumento para la situación dual con algo más de detalle en el teorema 12.7 aquí .

(Un método alternativo sería apelar a Resoluciones Cartan-Eilenberg que se tratan en cualquier texto de álgebra homológica suficientemente avanzado que se me ocurra, por ejemplo Weibel . Las palabras clave que hay que buscar son "funtores hiperderivados" e "hiperhomología". Desgraciadamente, las exposiciones habituales de la construcción se basan en la inyectividad, por lo que hay que modificar estos argumentos y no conozco ninguna referencia al respecto).

Permítanme también mencionar Lema 13.2.1, página 325 de Kashiwara-Schapira, _Categorías y gavillas_ para algunas variantes de este resultado.

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Aquí está la construcción de Keller:

Incrustar $X^0$ en un $\mathcal{J}$ -objeto y formar el push-out

X^0 -----> X^1
 V          V
 |          |
 |          |
 V          V
J^0 -----> Y^1

El diferencial $X^1 \to X^2$ factores sobre un morfismo único $Y^1 \to X^2$ tal que $J^0 \to Y^1 \to X^1$ es cero. Ahora incrusta $Y^1$ en $J^1$ y formar el push-out bajo ese morfismo y $Y^1 \to X^2$ y continuar de esta manera para conseguir:

X^0 -----> X^1
 V          V
 |          |
 |          |
 V          V
J^0 -----> Y^1 -----> X^2
            V          V
            |          |
            |          |
            V          V
           J^1 -----> Y^2 -----> X^3
                       V          V
                       |          |
                       |          |
                       V          V
                      J^2 -----> Y^3  etc.

El $J^n$ forman un complejo de forma obvia y existe un mapa en cadena (de grado mónico) $X^\bullet \to J^\bullet$ . El hecho de que un cuadrado

      d
 A ------> B
 V         V
 |         |
 | i       | j
 V    e    V
 C ------> D 

es un push-out si y sólo si la secuencia diagonal

   [ d]
   [-i]      [j e]
A -----> B+C -----> E

es corto exacto exhibe el cono de mapeo de este mapa en cadena $X^\bullet \to J^\bullet$ como un complejo acíclico, por lo que tenemos el cuasi-isomorfismo deseado (puede que tengas que juguetear un poco con los signos para que esto armonice con tus convenciones de signos favoritas).