Utilizando $y=ax+b$ Puedo obtener una línea para cada punto $(a,b)$ pero aún quedan algunas líneas $(x=c)$ . Así que parece que las líneas son más que los puntos por lo que tienen más grados de libertad que $2$ . ¿Cuántos?
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DotNetWala
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En efecto, usted ha dos grados de libertad, pero el problema es que la correspondencia no es "perfecta" con los puntos del plano $\mathbb{R}^2$ . Es más bonito con puntos en $\mathbb{R}^{+}\times S^1$ , donde $S^1$ es el círculo y $\mathbb{R}^+$ . es el rayo de los números reales no negativos.
Veamos qué significa esto, pero antes permíteme señalar que aunque la correspondencia de tu post no cubre una de las líneas del plano, está bien, para determinar los grados de libertad permitir considerar correspondencias que salten un conjunto de estados del sistema que sea pequeño (tenga menor dimensión). Así, tu análisis también muestra que hay dos grados de libertad, aunque la línea única $x=c$ se salta.
Por $S^1$ arriba estamos denotando el círculo. Para cada línea en el plano tenemos su ángulo con respecto a la parte positiva de la $X$ -eje. Sólo tenemos que considerar los ángulos entre $0$ y $\pi$ y considerar $0$ el mismo ángulo que $\pi$ . Hay que tener en cuenta que cuando se gira más de un ángulo mayor que $\pi$ se obtiene una pendiente que también se puede obtener con un ángulo menor que $\pi$ . Cada uno de estos ángulos corresponde a un punto del círculo.
Teniendo una recta tenemos también la distancia a la recta desde el origen. Este es un número real no negativo.
La distancia al origen y el ángulo determinan la línea y, a la inversa, cada línea determina la distancia al origen y el ángulo.
Podemos poner todo esto en fórmulas. Una línea general en el plano se puede escribir como $$ax+by=c$$
Las líneas verticales caen en el caso de que $b=0$ . Esta ecuación es única hasta la multiplicación por una constante distinta de cero. Por ejemplo, multiplicando por $r\neq0$ obtenemos una ecuación $$rax+rby=rc$$ que define la misma línea.
Hay un ángulo único $0\leq \theta<\pi$ tal que $b\cdot\tan(\theta)=-a$ donde asumimos que $\theta=\pi/2$ cuando $b=0$ . Este es el ángulo del que hablamos anteriormente.
La distancia del origen a esta línea es $$d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
Podemos ir al revés. Si tenemos $\theta$ entonces podemos encontrar un par $a,b$ tal que $b\tan(\theta)=-a$ . Este par no es único, pero sí lo es hasta la multiplicación por una constante $r\neq0$ que es todo lo que necesitamos. Uno tiene un $a,b$ puede utilizar el par dado $d$ y resolver para $$c=d\cdot\sqrt{a^2+b^2}$$
Hemos eliminado el valor absoluto de $c$ porque se nos permite multiplicar toda la ecuación $ax+by=c$ por $-1$ si queremos, y seguimos obteniendo la misma línea. Siempre podemos suponer que queremos $c\geq0$ .
mvw
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Sergio del Amo
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Una línea plana necesita dos grados de libertad. Piensa en comenzar a lo largo de la x eje y 1) girando por $\theta$ y 2) la compensación paralela por $d$ el resultado es (en la forma $A x+B y+C=0$ )
$$ (-\sin\theta)x + (\cos\theta) y +(- d) = 0 $$
Lo anterior se define para todos los valores del dos parámetros $\theta$ y $d$ . No hay singularidades ni degeneraciones.
Así que dado cualquier línea de la forma $A x+B y+C =0$ los parámetros de definición de la línea se encuentran por
$$ \tan \theta = -\frac{A}{B} $$ $$ d = - \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} $$
Los dan la orientación de la línea $\theta$ y la distancia mínima al origen $d$ .
Si $B=0$ entonces $\theta$ se sigue definiendo utilizando el atan2() función $\theta = {\rm atan2}(-A,B)$
Nota: De forma similar, en 3D una línea necesita cuatro parámetros. Tres rotaciones y un desplazamiento.
casperOne
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La ecuación $ax+by=c$ define una línea de forma única, excepto que los múltiplos no nulos se identifican y $(a,b)=(0,0)$ está excluida. Resulta que este espacio es en realidad homeomorfo a una franja de Mobius con el límite eliminado. Para ver esto, dejemos que $z=a+ib$ de modo que estamos hablando del conjunto de todos los $(z,c)$ tal que $z\ne0$ .
Porque un factor de escala global en la ecuación $ax+by=c$ no cambia la línea, podemos suponer que $a^2+b^2=|z|^2=1$ y estamos viendo el espacio $S^1\times\Bbb R$ . Pero todavía hay una doble cobertura, porque $(z,c)$ y $(-z,-c)$ corresponden al mismo punto. Así, la línea central de la banda de Mobius es $(z,0)$ para $z\in S^1$ - este es el conjunto de todas las líneas que pasan por el origen, ten en cuenta que vuelves a donde has empezado después de un $180^\circ$ rotación - y las líneas no centrales serían círculos $(z,c)$ por el hecho de ser fijo $c\ne0$ . Este conjunto corresponde al conjunto de tangentes a una circunferencia de radio $c$ en el origen; obsérvese que a medida que se recorre el círculo las líneas no se repiten hasta que se pasa a $360^\circ$ a diferencia del caso de $c=0$ .
Por lo tanto, no existe un homeomorfismo global a un subconjunto de $\Bbb R^2$ aunque se trata de una variedad bidimensional sin límites, es decir, hay dos grados de libertad sin puntos singulares. Existe un subconjunto del espacio lineal que es una banda de Mobius, si volvemos a poner el límite: el conjunto de todas las líneas que intersecan el círculo unitario es el conjunto $(z,c)$ donde $|c|\le1$ (bajo la identificación $(z,c)=(-z,-c)$ ), que es homeomorfo a la banda de Mobius.
Narasimham
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Un segmento de cualquier línea puede ser escalado, trasladado y rotado en un plano, por lo que hay tres DOF. Los dos últimos son movimientos euclidianos que son constantes de integración de ecuaciones diferenciales de movimiento en el plano.
EDIT1:
Si se considera que todo lo que se añade en la integración puede verse como un grado de libertad (DOF).
En el avión, $ \dfrac{dy}{dx}=m $ da un DOF. Integrando $ y = mx + C $ añade un DOF más, ahora $ (m,C) $ . Es lo mismo si utilizamos coordenadas polares $ x \cos \alpha + y \sin \alpha = p $ dos constantes o parámetros $( p, \alpha) $ .
Para un segmento de línea recta cuando se incluyen los límites se puede ver como un DOF en el sentido de la dilatación.
