$\sigma$-álgebra de Borel sobre [0,1]

Question

Apenas comencé a estudiar esto, así que perdóname si me equivoco en algo.

Me han dado la siguiente definición de una $\sigma$-álgebra de Borel sobre $\Omega=[0,1]$: Es la $\sigma$-álgebra más pequeña que contiene todos los intervalos $(a,b)$ con $0\leq a

Aparentemente, cada subintervalo de $[0,1]$, incluido uno semiabierto como $[0,1)$, debería estar en $\mathcal{B}$. Incluso más simple, $\{0\}\in\mathcal{B}$ debería ser correcto. ¿Verdad?

No puedo entender cómo funcionaría esto - sé que los complementos, intersecciones y uniones de cualquier elemento de $\mathcal{B}$ son nuevamente elementos de $\mathcal{B}$.

Con la definición dada, no sé cómo obtener un subconjunto que contenga solo $0$ o solo $1 y no ambos: $0\leq a 0,1 \notin M => 0,1\in \overline{M}$.

He buscado en Google y StackExchange, pero parece que me han dado una definición poco común. ¿Está mal la definición o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Tienes razón; la definición que citaste está equivocada. La familia $\mathcal F$ de todos los subconjuntos de $[0,1]$ que contienen ambos o ninguno de los números $0$ y $1$ es una $\sigma$-álgebra que contiene los intervalos $(a,b)$. Por lo tanto, todos los conjuntos de Borel según la definición citada están en $\mathcal F.

Answer 2

Debes demostrar que si $A_{n} \in \mathcal{B}$ para cada $n \in \Bbb N$, entonces $\bigcap \limits_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{B}$.

Una vez que tengas el hecho anterior, entonces como $[0, \frac{1}{n}) \in \mathcal{B}$ para cada $n$, tenemos $\bigcap \limits_{n = 1}^{\infty} [0, \frac{1}{n}) = \{ 0 \} \in \mathcal{B}$.

Aquí hay una prueba para la primera afirmación que hice (inténtalo por ti mismo primero, y cuando quieras ver la prueba, simplemente mueve el ratón sobre la caja a continuación):

Afirmación: Si $A_{n} \in \mathcal{B}$ para cada $n \in \Bbb N$, entonces $\bigcap \limits_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{B}.

Prueba:

Dado que $A_{n} \in \mathcal{B}$ para cada $n \in \Bbb N$, y $\mathcal{B}$ es una $\sigma$-álgebra (que está cerrada bajo complementos), entonces $A_{n}^{c} \in \mathcal{B}$ para cada $n$. Luego, como por definición las $\sigma$-álgebras están cerradas bajo uniones contables, tenemos $\bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} A^{c}_{n} \in \mathcal{B}$. Pero entonces el complemento de este conjunto está en $\mathcal{B}$. Pero $(\bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} A^{c}_{n})^{c} = \bigcap \limits_{n = 1}^{\infty} A_{n}$, lo que prueba que $\bigcap \limits_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{B}$, tal como se deseaba.

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ACTUALIZACIÓN: Como se solicita en los comentarios, si $\mathcal{B}$ representa la $\sigma$-álgebra más pequeña que contiene conjuntos de la forma $(a,b)$ con $a, b \in [0,1]$, entonces no hay forma de obtener $\{ 0 \}$. Podemos obtener $\{ 0, 1 \}$ al darse cuenta de que este conjunto es el complemento de $(0,1)$. Pero no hay forma de "separar" $\{0 \}$ de los otros elementos como un conjunto medible.

Answer 3

De hecho, tu definición está equivocada: la $\sigma$-álgebra de Borel de $[0,1]$ es la más pequeña $\sigma$-álgebra que contiene todos los conjuntos abiertos de $[0,1]$.

Claramente, cada conjunto abierto $U \subset (0,1)$ es una unión (a lo sumo) numerable de intervalos disjuntos de la forma $(a_i, b_i)$. Esto significa que $U \in \mathcal{B}$ (denoto por $\mathcal{B}$ a tu definición de $\sigma$-álgebra de Borel).

Sin embargo, como señalaste en tu pregunta, hay algunos subconjuntos abiertos que tocan el límite de $[0,1]$. Como ejemplo, $[0,1)$ es abierto en $[0,1]$, por lo tanto es un subconjunto de Borel de $[0,1]$. De hecho, $[0,1) \notin \mathcal{B}$: esto muestra que $\mathcal{B}$ no es la álgebra de Borel de $[0,1]$.