Transformación de Möbius que permuta las raíces de un polinomio cúbico

Question

Las raíces del polinomio $x^3-3x-1$ puede ser permutada por la función $z\mapsto \dfrac{-1}{1+z}$ lo que se puede comprobar fácilmente mediante un cálculo directo.

¿Existe una fórmula sencilla para una transformación de Möbius que permute las raíces de $x^3+px+q$ ?

Answer 1

En realidad, sí.

Se trata de la sección número 511 de la obra de J.-A. Serret de 1877, "Cours D'Algèbre Supérieure". Por lo que sé, nunca se ha traducido al inglés (lo cual es sorprendente, dada la importancia que tuvo en el siglo XIX), pero está disponible en línea en varias bibliotecas. De todos modos, aquí está su resultado.

Para el polinomio $x^3 + Px +Q$ recordemos que su discriminante $\Delta$ puede escribirse como $\Delta = -(4P^3 + 27Q^2)$ .

Con esto en mente, y mientras $\Delta \not= 0$ (que es lo mismo que decir que el polinomio no tiene raíces repetidas), definamos \begin{align*} a &= \frac{\sqrt{\Delta} - 9Q}{2\sqrt{\Delta}} \\[1.2ex] b &= \frac{2P^2}{2\sqrt{\Delta}} \\[1.2ex] c &= \frac{6P}{2\sqrt{\Delta}} \\[1.2ex] d &= \frac{\sqrt{\Delta} + 9Q}{2\sqrt{\Delta}} \end{align*} Entonces, Serret demostró que $m(z) = \displaystyle\frac{a z + b}{c z + d}$ es de orden tres bajo composición, y permuta las raíces de la cúbica $x^3 + Px + Q$ . Curiosamente, esto es cierto para todos los cúbicos sin raíces repetidas. Funciona para polinomios irreducibles y para polinomios reducibles. Funciona para todos los coeficientes posibles. Incluso funciona para polinomios con raíces complejas; en ese caso, $\Delta<0$ y así $\sqrt{\Delta}$ es imaginario y por lo tanto $m(z)$ puede llevar una raíz real a una raíz compleja.

(En realidad, Serret hizo esto en toda la generalidad para el cúbico no deprimido $x^3 + Px^2 + Qx + R$ pero he reducido la fórmula al cubo deprimido que te interesaba).

Vamos a comprobarlo para su polinomio $x^3 -3x -1$ . Usted tiene $P=-3$ y $Q=-1$ , por lo que se obtiene $\Delta = 81$ . Así, sus valores para $a,b,c,d$ son: \begin{align*} a &= \frac{\sqrt{\Delta} - 9Q}{2\sqrt{\Delta}} &= 1 \\[1.2ex] b &= \frac{2P^2}{2\sqrt{\Delta}} &= 1 \\[1.2ex] c &= \frac{6P}{2\sqrt{\Delta}} &=-1\\[1.2ex] d &= \frac{\sqrt{\Delta} + 9Q}{2\sqrt{\Delta}} &=0 \end{align*} y así tienes $m(z) = \displaystyle\frac{ z + 1}{- z} = -1 - \frac{1}{z}$ . Por supuesto, esto es sólo la inversa del mapa que dio en su pregunta, $z \mapsto \displaystyle \frac{-1}{z+1}$ .