SDE para la partícula, PDE para la densidad

Question

Dada una partícula en el plano podemos suponer que sigue un movimiento browniano 2D. Por otro lado, si hay muchas partículas brownianas, uno puede interesarse por la evolución de la densidad de dichas partículas.

¿Cómo se deriva la EDP para la densidad? Supongo que debe ser similar a la ecuación del calor y debe haber conexión con la dinámica de un gas. ¿Podría remitirme a la literatura?

Answer 1

La ecuación se parece mucho a la ecuación del calor, tanto que es la ecuación del calor. La literatura sobre cosas elementales como esta es uniformemente terrible, así que no puedo dar una referencia. Para ver por qué es la ecuación del calor, hay que tener en cuenta que la ley de la función de distribución es la misma que la de una distribución de probabilidad, por lo que es una ecuación lineal, por el principio de superposición de probabilidades.

Si evolucionas un poco de tiempo en el futuro, la probabilidad de estar en cualquier punto se incrementa la media de los vecinos cercanos. La media de los vecinos menos el punto central es el laplaciano, por lo que la derivada temporal es proporcional al laplaciano más el valor del centro, y como la integral sobre todo el espacio tiene que ser invariable con el tiempo, debe ser sólo el laplaciano. Cambiando las unidades de espacio, se puede hacer que el coeficiente del Laplaciano sea 1:

$ {d\phi \over dt} = {1\over 2} \nabla^2 \phi $

Pero esto sigue dejando una invariancia de escala, si se reescala el espacio en una cierta cantidad, y el tiempo en la misma cantidad al cuadrado, se obtiene de nuevo la misma ecuación. Así que la solución fundamental debe ser proporcional a una función de escala: f({x^2\sobre t}) y se puede resolver la solución, que es una gaussiana que se extiende $\phi(x,t) = {1\over (2\pi t)^{d/2}} e^{-{x^2\over 2t}}$ donde d es la dimensión del espacio. (un producto de gaussianos unidimensionales). Este conjunto de ideas forman un círculo, porque la misma distribución está en la definición del movimiento browniano, y proviene del teorema del límite central.