Encontrar la estabilidad de $h(n) = 4^nu[-n-1]$ utilizando la transformación z

Question

Estoy tratando de encontrar la estabilidad de $h(n) = 4^nu[-n-1]$ utilizando la transformación Z.

Primero miré los pares de transformación Z= pero no se parece a ninguno de los pares de transformación Z.

$$a^nu[n]\Longleftrightarrow \frac{1}{1-a \cdot z^{-1}}, \lvert z\rvert>\lvert a\rvert$$

$$-a^nu[-n-1]\Longleftrightarrow \frac{1}{1-a\cdot z^{-1}}, \lvert z\rvert<\lvert a\rvert$$

Por lo tanto, voy a calcular la transformación Z desde el principio:

$$\sum_{n= -\infty}^\infty 4^n\cdot u[-n-1] \cdot z^{-n}$$ $$\sum_{n=-\infty}^{-1} 4^n \cdot z^{-n} $$ $$\sum_{n=1}^{\infty} 4^{-n}\cdot z^{n} $$

Hasta donde yo sé: $$\frac{a_1}{1-r}=\frac {\frac{z}{4}}{1-\frac{z}{4}}=\frac{-1}{1-4 \cdot z^{-1}}$$

Cuando está en el $\frac{1}{1-a \cdot z^{-1}}$ forma, sé cómo comprobar la estabilidad.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo encontrar la estabilidad si hay un signo menos antes del resultado.

Answer 1

Ok, primero establezcamos algunas cosas sólo mirando la señal:

1) El $u[-n-1]$ La función de paso indica que el sistema tiene valores $\neq 0$ sólo para valores negativos de $n$ lo que significa que es anticausal .

2) Si es anticausal , entonces su $ROC$ se ve así: $|z|\lt r$

Teniendo esto en cuenta, podemos seguir sus pasos para encontrar la forma Z del sistema:

$$ \begin{align} \mathcal{Z}\{h(n)\}=H(z)&= \sum_{k= -\infty}^\infty 4^k\cdot u[-k-1] \cdot z^{-k}\\ &=\sum_{k=-\infty}^{-1} 4^k \cdot z^{-k}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty} 4^{-k}\cdot z^{k}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{z}{4}\right)^k \end{align} $$

Aquí podemos confirmar que la serie converge para: $$|z|\lt 4$$

Como has dicho, esto converge a la suma de progresión geométrica infita:

$$\frac{a_{1}}{1-q}$$

Donde, en nuestro caso tenemos: $a_{1}=q=\frac{z}{4}$ Así que..:

$$ \begin{align} H(z)&=\frac{\frac{z}{4}}{1-\frac{z}{4}}\\ &=\frac{z}{4-z}\\ &=\frac{1}{4z^{-1}-1}\\ &=-\frac{1}{1-4z^{-1}} \end{align} $$

Así, para este sistema tenemos: Ceros: $\{0\}$ y los polacos: $\{4\}$

El círculo de la unidad $|z|=1$ está en el $ROC$ de este sistema, que es un requisito fundamental para la estabilidad, y, una vez $|z|\lt 4$ no contiene $4$ Los polos están fuera de la $ROC$ .

Por lo tanto, este sistema es estable .

Respecto a tu duda sobre cómo tratar el signo menos, no cambia el resultado sobre los polos, mira:

$$ \begin{align} 1-4z^{-1}&=0 & 4z^{-1}-1&=0\\ 4z^{-1}&=1 & 4z^{-1}&=1\\ z=&4 & z&=4 \end{align} $$