Un producto de matrices tiene valor propio 1

Question

Empieza por fijar las matrices invertibles $A_1, \ldots, A_m \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ .

Para una secuencia $i_1, \ldots, i_k$ construimos $A = A_{i_1} \cdots A_{i_k}$ . Nos gustaría saber "¿Es 1 un valor propio de $A$ ?".

Como estamos haciendo esto para un gran número de secuencias (los cálculos ingenuos cuando $n \sim 6$ , $m \sim 16$ , $k \sim 12$ días) podemos suponer que cualquier información (por ejemplo, la descomposición de LU) deseada sobre $A_i$ es esencialmente libre.

¿Existe una forma más rápida de determinar si 1 es un valor propio de $A$ que la informática $A$ y comprobar si $\det(A - Id_k) = 0$ ?

Answer 1

Puedes usar el teorema del determinante de Sylvester $\det(I+AB) = \det(I+BA)$ para reutilizar los resultados. Por ejemplo, $\det(I-A_1 A_2 A_3 A_4) = \det(I-A_2 A_3 A_4 A_1) = \det(I-A_3 A_4 A_1 A_2 )$ $ = \det(I-A_4 A_1 A_2 A_3 )$