Muchos problemas famosos de las matemáticas pueden plantearse como la búsqueda de una construcción específica. A menudo, esas construcciones se buscaron durante siglos o incluso milenios y más tarde se demostró que eran imposibles al adoptar una nueva perspectiva "más elevada". El ejemplo más obvio serían los tres problemas geométricos de la antigüedad: la cuadratura de los círculos, la duplicación de los cubos y la trisección de los ángulos sólo con regla y compás. Estrechamente relacionado con estos tres, está la construcción de figuras regulares $n$ -gones para el general $n$ . Más tarde tenemos la solución de una ecuación algebraica arbitraria mediante radicales o la expresión de la circunferencia de una elipse mediante funciones elementales. En el siglo XX tenemos el décimo problema de Hilbert: encontrar un algoritmo para determinar si una ecuación diofantina dada tiene soluciones.
Todas estas construcciones resultaron ser imposibles, pero la búsqueda inútil produjo algunas nuevas y grandes matemáticas: La teoría de Galois, la teoría de grupos, los números trascendentales, las curvas elípticas...
Pero estoy buscando ejemplos que sean, en cierto sentido, lo contrario de lo anterior: en los que alguien haya dado con una construcción ingeniosa en un problema en el que se había creído generalmente que no debía existir tal construcción. En el mejor de los casos, esta construcción debería haber hecho surgir nuevas cuestiones y métodos interesantes, pero también me interesan los resultados aislados que puedan contarse simplemente como coincidencias divertidas. Para aclarar mi punto de vista, permítanme presentar mis dos ejemplos favoritos.
(1) Teorema de Belyi : Si $X$ es una curva algebraica proyectiva suave definida sobre un campo numérico, existe una función racional sobre $X$ cuyos únicos valores singulares son $0$ , $1$ y $\infty$ . --- Según su Esquisse d'un programme Grothendieck ya había pensado en este problema poco antes, pero la afirmación le pareció tan atrevida que incluso se sintió incómodo por preguntar a Deligne sobre ella. Para situar el teorema en su contexto, la afirmación inversa (que toda curva que admite una función racional con sólo estos tres valores singulares puede definirse sobre un campo numérico) ya se conocía antes por tonterías abstractas y es bastante sencilla de deducir a partir de resultados profundos de la geometría algebraica al estilo de Grothendieck. La prueba de Belyi, sin embargo, era completamente elemental, constructiva y tramposa. Además, es más importante de lo que podría parecer a primera vista, ya que abre una conexión muy estricta, e igualmente inesperada, entre la topología de superficies y la teoría de números.
(2) Teorema de Julia Robinson sobre la definibilidad de los enteros : Supongamos que usted quiere señalar $\mathbb{Z}$ como un subconjunto de $\mathbb{Q}$ Utilizando la menor estructura posible. El resultado en cuestión es, al menos para mí, absolutamente sorprendente. No sé si fue tan inesperado para los expertos de la época, pero la construcción es en cualquier caso realmente ingeniosa. Dice que existe una fórmula de primer orden $\varphi$ en el lenguaje de los anillos (es decir, hablando sólo de elementos, no de subconjuntos, y utilizando sólo símbolos lógicos y de multiplicación y adición, y los símbolos $0$ y $1$ ) tal que para un número racional $r$ , $\varphi (r)$ es verdadera si y sólo si $r$ es un número entero. La fórmula original de Robinson es $$\varphi (r)\equiv\forall y\forall z(\psi (0,y,z)\wedge\forall x(\psi (x,y,z)\longrightarrow \psi (x+1,y,z))\longrightarrow\psi (r,y,z))$$ con $$\psi (x,y,z) \equiv \exists a\exists b\exists c(2 + x^2yz = a^2 + yb^2-zc^2).$$ Como no es mi área de investigación, no intento estimar la importancia histórica de este descubrimiento, pero me parece que tiene un gran peso en la intersección de la teoría de los números y la lógica.
Así que espero que estos dos ejemplos dejen claro lo que busco, y estoy deseando leer tus ejemplos.
