Si $A$ es un conjunto infinito y $a \in A$ Entonces, ¿cómo demostrar que $A$ y $A-\{a\}$ ¿son equivalentes?

Question

Es evidente que $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}-\{a\}$ son equivalentes para $a\in\mathbb{N}$ . Además, si $A$ es un conjunto contable y $B$ es un subconjunto finito de $A$ entonces es fácil demostrar que $A$ y $A-B$ son equivalentes. Pero, si $A$ es un conjunto incontable y $B$ es un subconjunto finito de $A$ Entonces, ¿cómo demostrar que $A$ y $A-B$ ¿son equivalentes? La pregunta podría ampliarse como, si $A$ es un conjunto incontable, $B$ es un subconjunto contable de $A$ Entonces, ¿cómo demostrar que $A$ equivale a $A-B$ ?

Answer 1

Una pista: Encuentre una inyección $A \to A-\{a\}$ y utilizar el Teorema de Schröder-Bernstein .

Answer 2

Por la afirmación del título: Desde $A$ es infinito, existe una inyección $f: \mathbb{N} \to A$ con $f(0) = a$ . Entonces, $\tilde{f}: \mathbb{N} \to A \setminus \{a\}$ definido por $\tilde{f}(n) = f(n + 1)$ es una inyección también, dando lugar a la declaración.