Es $f(n)=\sqrt{n}$ la única función de $\Bbb{N}_0$ a $[0,\infty)$ con $f(100)=10$ y $\sum_{k=0}^n\frac{1}{f(k)+f(k+1)}=f(n+1)$ ?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{N_0} \rightarrow \left[0,\infty\right)$ sea una función tal que

a) $f(100)=10$

b) $\dfrac{1}{f(0)+f(1)}+\dfrac{1}{f(1)+f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(n)+f(n+1)}=f(n+1)$ para todos $n\geq 0$ .

Evaluar $f(n)$ .

Claramente, $f(n)=\sqrt{n}$ satisface las condiciones, pero mi pregunta es: ¿es la única función posible?

No veo cómo usar el valor en $n=100$ demostraría que la función es $\sqrt{n}$ Sin embargo, si en lugar de $100$ , $f(1)=1$ fue dada, entonces podemos demostrar por inducción que $\sqrt{n}$ sería la única función partiendo del primer término y encontrando el siguiente.

Answer 1

(Rellene los huecos que sean necesarios. Si te atascas, muestra tu trabajo y explica por qué te atascas).

Ignora la condición (a) por ahora (Esto sólo nos da una solución específica).

Reclamación: Demostrar que la condición $b$ equivale a

• $ \frac{1}{ f(0) + f(1) } = f(1)$ y
• $ f(n)^2 - f(n-1)^2 = 1$ para $n\geq 2$

Corolario: La familia de soluciones que satisface $(b)$ viene dada por

$$ \begin{align} f(0) & = a, \\ f(1) & = \frac{1}{2} ( \sqrt{ a^2 + 4} - a ), \\ f(n) & = \sqrt{ f(1)^2 + n-1 } \end{align}. $$

Corolario: Por lo tanto, utilizando la condición $a$ ya que $f(100) = 10$ Así que $f(1) = 1$ y $ f(0) = a = 0$ . Por lo tanto, la solución es única $ \sqrt{n}$ .

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Notas

• Si sólo nos preocupamos por la condición $b$ , entonces para $ n \geq 1$ , $\sqrt{n} \geq f(n) > \sqrt{n-1}$ . Puede demostrarlo mostrando que el rango de $ \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + 4} - a ) $ en $[0, \infty)$ es $ (0, 1]$ .

Answer 2

Utilizando (b) con $n$ y luego (b) con $n-1$ y restando, obtenemos \begin{align*} f(n+1) - f(n) &= \bigg( \dfrac{1}{f(0)+f(1)}+\dfrac{1}{f(1)+f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(n)+f(n+1)} \bigg) \\ &\qquad{}- \bigg( \dfrac{1}{f(0)+f(1)}+\dfrac{1}{f(1)+f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(n-1)+f(n)} \bigg) \\ &= \frac1{f(n)+f(n+1)}. \end{align*} Por lo tanto, $f(n+1)^2 - f(n)^2 = 1$ para todos $n\ge0$ que fija inmediatamente todos los valores dado cualquier valor único.

Answer 3

Para $n\geq 1$ , \begin{align} f(n+1) &= \dfrac{1}{f(0)+f(1)}+\dfrac{1}{f(1)+f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(n)+f(n+1)}\\ & = f(n)+\dfrac{1}{f(n)+f(n+1)}\\ \implies f(n+1)^2&=1+f(n)^2 =n+f(1)^2\\ \implies f(n) &= \sqrt{n-1+f(1)^2}. \end{align} Además, tenemos $$10 = f(100)=\sqrt{99+f(1)^2}\implies f(1)=1.$$

Por último, también derivamos $$f(1)=\dfrac{1}{f(0)+f(1)}\implies f(0)=0.$$

Por lo tanto, concluimos que $f(n)=\sqrt{n}.$