Encontrar secuencias tales que la función de la suma de v.r. es martingala

Question

Dejemos que $\left(X_n\right)_{n\geq 1}$ sean independientes, de manera que $\mathbb E\left(X_i\right)=m_i$ y $\mathrm{Var}(X_i)=\sigma_{i}^{2}$ para $i\geq 1$ . Sea $\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_i$ y $\mathcal F=\sigma\left(X_i,1\leq i \leq n\right)$ . Encontrar secuencias $\left(b_n\right)_{n\geq 1}$ , $(c_{n})_{n\geq 1}$ de números reales tal que $$\left(S_n^2+b_nS_n+c_n\right)_{n\geq 1}$$ es un $(\mathcal F_{n})_{n\geq 1}$ martingala.

Agradecería mucho que alguien me indicara por dónde empezar con esto. Gracias.

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Answer 1

Un buen comienzo consistiría en calcular la expectativa condicional de $S_{n+1}^2+b_{n+1}S_{n+1}+c_{n+1}$ con respecto a $\mathcal F_n$ .

Answer 2

Calcula

$$\mathbb E\left[S_{n+1}^2+b_{n+1}S_{n+1}+c_{n+1}|\mathcal{F}_{n}\right]=$$

$$\mathbb E\left[\left(\sum_{i=1}^{n+1}X_i\right)^2+b_{n+1}\left(\sum_{i=1}^{n+1}X_i\right)+c_{n+1}\left\vert\vphantom{\frac{1}{1}}\right.\mathcal{F}_{n}\right]=$$

$$(n+1)\mathrm{Var}\left[X_i\right]+((n+1)\mathbb E[X_i])^2+b_{n+1}(n+1)\mathbb E[X_i]+c_{n+1}=$$

$$(n+1)\sigma_{i}^2+((n+1)m_i)^2+b_{n+1}(n+1)m_i+c_{n+1}$$