Convertir una función medible en una biyección

Question

Dejemos que $f:(0,1)\rightarrow (0,1)$ sea una función medible por el borel tal que para cada $y$ sur $(0,1)$ , $f^{-1}(y)$ es un conjunto de borlas y $\mu(f^{-1}(y))=0$ y también $\mu (f((0,1)))=1$ où $\mu$ es la medida de Lebesgue . ¿Es posible construir una función $g:A\rightarrow A$ où $A\subseteq[0,1]$ es un conjunto de borlas y $\mu (A)=1$ , de tal manera que $g$ es una biyección bimeasurable y $g|_A=f|_A$ ?

Answer 1

No, considera $f(x) = 2x \mod 1$ .