Sobre el ejemplo de las integrales vectoriales

Question

Dejemos que $p>1$ . Estoy buscando una secuencia $(f_{n}(x))$ tal que \begin{align*} \left(\sum_{n}|f_{n}(x)|^{2}\right)^{1/2}&\notin L^{p}(\mathbb{R}^{N}),\\ \sum_{n}a_{n}f_{n}(x)&\in L^{p}(\mathbb{R}^{N}),~~~~\text{for any}~(a_{n})\in l^{2}~\text{with}~\|(a_{n})\|_{l^{2}}\leq 1 \end{align*} para que \begin{align*} \sup_{\|(a_{n})\|_{l^{2}}\leq 1}\left\|\sum_{n}a_{n}f_{n}(x)\right\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{N})}<\infty. \end{align*} Lo difícil es que, el espacio $l^{2}$ es autodual, pero cuando lo tratamos como el interior pero tomando $L^{p}$ integral como exterior, la situación es diferente.

También pienso en el Desigualdad de Khintchine pero esto no ayuda.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Suponiendo que $1<p<2$ :

Dejemos que $(S_{n})$ sea una secuencia de conjuntos disjuntos en $\mathbb{R}^{N}$ tal que el volumen $|S_{n}|=1$ .

Dejemos que $f_{n}=(1/n^{1/p})\chi_{S_{n}}$ calculamos que \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{N}}\left(\sum_{n}|f_{n}(x)|^{2}\right)^{p/2}dx&=\sum_{n}\int_{S_{n}}f_{n}(x)^{p}dx\\ &=\sum_{n}\dfrac{1}{n}\\ &=\infty. \end{align*} Por otro lado, para cualquier $(a_{n})\in l^{2}$ tal que $\|(a_{n})\|_{l^{2}}\leq 1$ calculamos que \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{N}}\left|\sum_{n}a_{n}f_{n}(x)\right|^{p}dx&=\sum_{n}\int_{S_{n}}|a_{n}|^{p}\cdot\dfrac{1}{n}dx\\ &=\sum_{n}|a_{n}|^{p}\cdot\dfrac{1}{n}\\ &\leq\left(\sum_{n}|a_{n}|^{2}\right)^{p/2}\left(\sum_{n}\dfrac{1}{n^{r}}\right)^{1/r}\\ &\leq\left(\sum_{n}\dfrac{1}{n^{r}}\right)^{1/r}, \end{align*} donde $1/(2/p)+1/r=1$ .

Suponiendo ahora que $p\geq 2$ :

Tenga en cuenta que $\|(a_{n})\|_{l^{2}}\leq 1$ implica que $|a_{n}|\leq 1$ para cada $n=1,2,...$ y por lo tanto \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{N}}\left|\sum_{n}a_{n}f_{n}(x)\right|^{p}dx&=\sum_{n}|a_{n}|^{p}\cdot\dfrac{1}{n}\\ &\leq\sum_{n}|a_{n}|^{2}\\ &\leq 1. \end{align*}