Pregunta sobre los números de Pontryagin y la secuencia de cohomología de un par.

Question

En las clases características de Milnor y Stasheff, demuestran el siguiente teorema:

Thm: Si $B$ es un compacto suave $n+1$ colector con límite $M$ entonces los números de Stiefel-Whitney de $M$ son todos cero.

La prueba se basa en el hecho de que si $\mu_B$ y $\mu_M$ son las clases fundamentales de $(B,M)$ y $M$ respectivamente, entonces $$ \langle v , \mu_M \rangle = \langle \delta v ,\mu_B \rangle, $$ donde $\langle, \rangle$ denota el emparejamiento del producto de la tapa, y $\delta$ es el homomorfismo de conexión en la secuencia de cohomología del par $(B,M).$ Observan que como todo es módulo 2, no hay signo en esta fórmula. ¿Cuál es el signo habitual? No estoy familiarizado con esta versión de "Stokes Thm", y no puedo encontrar ninguna mención de ella en Hatcher, Milnor & Stasheff, Bott & Tu, etc, etc.

Estoy tratando de adaptar esta prueba para demostrar lo siguiente:

Thm: Si $B$ es un compacto liso orientado $n+1$ colector con límite $M$ entonces los números de Pontryagin de $M$ son todos cero.

Estoy usando la cohomología de Rham. Mi prueba hasta ahora es que $TB \mid_M $ se divide como $TM \oplus N$ , donde $N$ es el haz normal. El haz normal es trivial ya que tiene una sección, por lo que $p(TB \mid_M) = p(TM)$ . Ahora bien, si $i$ denota la inclusión de $M$ en $B$ tenemos $i^* p(TB) = p(TM)$ . Así que las clases Pontryagin de $TM$ son las restricciones de las clases de $TB$ .

El hecho anterior implicaría entonces $$ \langle P(TM) , \mu_M \rangle = \pm \langle \delta i^* P(TB) , \mu_B \rangle = \langle 0, \mu_B \rangle, $$ ya que la composición de los mapas es cero, donde $P$ es algún grado $n$ producto de las clases de Pontryagin.

Me gustaría ver esto con formas diferenciales. El teorema de Stokes implica $$ \int_M P(TM) = \int_B \partial (P(TB)). $$ El integrando de la derecha debe ser $0$ (comparando con el emparejamiento de productos de tapa) pero no veo por qué. ¿Cuál es el homomorfismo de conexión $\delta :H^n(M) \rightarrow H^{n+1}(M,B)$ ¿en términos de formas? ¿Y cómo encaja esto con Stokes?

Answer 1

Desde $P(TB)$ es una forma cerrada en $B$ (¡representa una clase de cohomología de Rham!), $d(P(TB))=0$ . Eso es todo.

En términos del homomorfismo de conexión $\delta:H^n(M)\to H^{n+1}(B,M)$ se puede pensar en esto de la siguiente manera. Para calcular $\delta$ , tomas un cocycle $\alpha$ en $M$ , extiéndelo a una co-cadena $\beta$ en $B$ y luego tomamos su co-límite que es un cociclo en $B$ que se desvanece en $M$ . Esta descripción es válida tanto para la cohomología singular como para la cohomología de Rham (siendo las co-cadenas formas diferenciales, y el co-límite la derivada exterior). Si su cociclo original $\alpha$ es a imagen y semejanza de $i^*$ , eso sólo significa que es la restricción de un cociclo en $B$ Así que $\beta$ puede elegirse como un cociclo, por lo que su cofinanciación es $0$ . En este caso, $\alpha=P(TM)$ es la restricción del cociclo $\beta=P(TB)$ y así $\delta(P(TM))$ es lo mismo que $d(P(TB))$ que es $0$ .