¿Grupo finito no trivial con homologías de grupo triviales?

Question

Me topé con esta pregunta en un documento de un seminario hace mucho tiempo:

¿Existe un número entero positivo $N$ de manera que si $G$ es un grupo finito con $\bigoplus_{i=1}^NH_i(G)=0$ entonces $G=\lbrace 1\rbrace$ ?

Creo que esto sigue siendo un problema abierto. Para $N=1$ cualquier grupo perfecto (ej: $A_5$ ) es un contraejemplo. Para $N=2$ el grupo binario icosaédrico $SL_2(F_5)$ es suficiente (grupo perfecto con cohomología de Tate periódica). Y he encontrado en uno de los trabajos de Milgram un resultado para $N=5$ el grupo esporádico de Mathieu $M_{23}$ . Obsérvese que esta pregunta se responde para grupos infinitos, porque siempre podemos construir un espacio topológico (por tanto un $BG$ para algún grupo discreto $G$ ) con homologías prescritas.

¿Existe otro grupo conocido con una mayor $N\ge 5$ antes de que la homología se vuelva no trivial?
¿Existen clasificaciones de obstrucciones en grupos de homología superior?

[[Editar]]: Otra vista. Un grupo es $\textit{acyclic}$ si tiene homología integral trivial. No existen grupos acíclicos finitos no triviales. De hecho, un resultado de Richard Swan dice que un grupo con $p$ -torsión tiene mod- no trivial $p$ cohomología en infinitas dimensiones, por lo tanto homología integral no trivial.

Answer 1

He aquí un enfoque para tratar de responder a esta pregunta. Para mostrar el lado afirmativo [hay una N] mira el argumento del primo dos y de los cisnes de que para un grupo finito con un subgrupo primario dos la cohomología mod dos debe ser no nula en infinitas dimensiones. Lo he intentado pero no lo he encontrado. si eso da como resultado un N finito con cohomología no nula para todos los grupos finitos con un dos primario el problema está resuelto. porque si el dos primario está ausente, el grupo es resoluble y N=1 da como resultado una homología no nula. Por otro lado, para mostrar el lado negativo, no existe tal N. si el argumento de swan no da lugar a tal N concreto para el primo dos, entonces se podría creer que no existe tal N, y que se podría construir una serie de ejemplos pensando en la demostración del teorema de swan.