¿Puedes ayudarme a resolver estas integrales?

Question

Necesito resolver dos integrales:

1.) $$ \int_0^\infty {xne^{n\theta-nx}}dx $$

2.) $$ \int_0^\infty {x^2ne^{n\theta-nx}}dx $$

n y $\theta$ son constantes.

Answer 1

O adivinar que la integral (indefinida) será $p(x)e^{n\theta-nx}$ para algún polinomio $p$ con $\text{deg }p \leq 2$ . Encuentre la derivada de $p(x)e^{n\theta-nx}$ y determina los coeficientes de los polinomios comparándolos con tu integrando.

Answer 2

SUGERENCIA: Utilice la integración parcial ( $\int_a^b uv' dx=[uv]_a^b-\int_a^bu'v dx$ ) y el hecho de que $x'=1$ (al menos para el problema 1)

Answer 3

1) utilizando la integración por partes. $$\int_0^\infty {xne^{n\theta-nx}}dx=\left [ -xe^{n\theta-nx} \right ]_0^\infty + \int_0^\infty e^{n\theta-nx} dx$$ Aquí, $e^{-x}$ va a cero más rápido que $x$ a $\infty$ . Así que sólo te queda la integral, que es: $$\left [ -\frac{e^{n\theta-nx}}{n} \right ]_0^\infty=\frac{e^{n\theta}}{n}$$

2) ¡se dejó como ejercicio ;) pero es exactamente lo mismo! Sólo hay que hacer la integración por partes dos veces.

Answer 4

Es útil recordar que

$$ \Gamma(n+1) = \int_{0}^{+\infty} x^n\,e^{-x}\,dx = n!, $$

por lo que, mediante la sustitución $x=y/n$ obtenemos que la primera integral es igual a $e^{n\theta}/n$ y la segunda integral es igual a $2e^{n\theta}/n^2$ .