No entienden la *derivación* de las variables aleatorias geométricamente distribuidas

Question

No entiendo la derivación de la distribución geométrica aleatoria variables aleatorias como se hace ici (sólo la primera $10$ líneas - todo hasta el ejercicio $2$ - son relevantes para mí).

Por favor, tened en cuenta que probablemente necesito una explicación muy formal y exhaustiva, ya que ya he mirado en diferentes sitios web y libros, que utilizan explicaciones de manera similar al enlace que he proporcionado y no he entendido ninguna de ellas. (Tengo mi "propia" derivación, que tiene sentido para mí, que se puede encontrar a continuación)

En el curso que tomé, no estaban rigurosamente definidos, así que más o más o menos traté de averiguar lo que el profesor hizo y me parece que lo que está escrito a continuación es cómo los derivamos. Pero la derivación ¡en el enlace es diferente! Y el problema central parece ser, que en el enlace hay una conexión matemática entre las variables aleatorias variables aleatorias $X_{k}:\left\{ s,f\right\} \rightarrow\mathbb{R},\ \omega\mapsto\omega$ (donde nuestro espacio muestral Bernoulli está modelado por $\Omega:\left\{ s,f\right\} $ , para el "éxito" y el "fracaso" y todo el experimento es $\Omega^{\mathbb{N}}$ y $k\in\mathbb{N}$ ), ya que allí se utilizaron de alguna manera que el $X_{k}$ son independientes -- lo que no tiene sentido en absoluto para mí: Si $s$ tiene probabilidad $1>p>0$ , entonces los conjuntos $\left\{ X_{1}=s\right\} $ y $\left\{ X_{2}=s\right\} $ no son independientes, porque $$ P\left(\left\{ X_{1}=s\right\} \cap\left\{ X_{2}=s\right\} \right)=P\left\{ s\right\} =p\neq p^{2}=P\left(\left\{ X_{1}=s\right\} \right)P\left(\left\{ X_{2}=s\right\} \right). $$

Al contrario, en mi derivación no hay un vínculo matemático entre la variable aleatoria que tiene la distribución geométrica y el $X_{k}$ .

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Mi derivación: Considere una secuencia de ensayos Bernoulli de longitud finita $n$ (donde el espacio para cada experimento es, por ejemplo $\Omega:\left\{ s,f\right\} $ ). Si $p$ es la probabilidad de obtener éxito, $p(1-p)^{k-1}$ es la probabilidad de tener el primer éxito en el $k$ de la prueba, en la que $n\geqslant k\left(\geqslant0\right)$ . Ahora queremos saber cuál es la probabilidad de tener el primer éxito en el $k$ de la prueba, en la que no tenemos un límite superior $n$ .

Ya que no tenemos una forma de definir en el espacio de todas las secuencias infinitas, es decir $\left(\omega_{1},\omega_{2},\ldots\right)$ mit $\omega_{i}\in\Omega$ una distribución de probabilidad adecuada a partir de nuestro $\Omega$ (al menos menos, no sé cómo hacerlo y el uso de maquinaria teórica de la medida avanzada no cuenta, ya que estoy interesado en cómo se define la distribución geométrica distribución geométrica en el entorno "de pregrado"). Pero sabemos sabemos que $p(1-p)^{k-1}$ es independiente de $n$ Así que definir un nuevo $\hat{\Omega}:=\mathbb{N}$ y $\hat{p}\left(k\right):=p\left(1-p\right)^{k}$ modelamos el hecho de que tenemos el primer éxito en el $k$ de la prueba. Entonces podemos definir $X:\hat{\Omega}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto x$ como la variable aleatoria cuya distribución es la que nos dice, cuando obtenemos el primer éxito - pero matemáticamente no hay conexión entre esta variable aleatoria, y las variables aleatorias $X_{k}:\left\{ s,f\right\} ^{n}\rightarrow\mathbb{R},\ \left(\omega_{1},\omega_{2},\ldots,\omega_{n}\right)\mapsto\omega_{k}$ o las variables aleatorias $X_{k}:\left\{ s,f\right\} \rightarrow\mathbb{R},\ \omega\mapsto\omega$ .

Answer 1

He intentado resumir en esta respuesta parte de la discusión en los comentarios.

La raíz de su dificultad, creo, es la confusión sobre los espacios muestrales apropiados. Por un lado tienes las variables aleatorias Bernoulli $X_k$ para $k\in\Bbb Z^+$ cada una de ellas es una función sobre el espacio muestral $\Omega$ tomando valores en $\{0,1\}$ . Definimos $P(\{s\})=p$ y $P(\{f\})=1-p$ de lo cual tenemos automáticamente que $$P_{X_k}(\{1\})=P(X_k=1)=P(\{s\})=p$$ y $$P_{X_k}(\{0\})=P(X_k=0)=P(\{f\})=1-p\;.$$

Por otro lado tenemos la variable aleatoria geométrica $N$ definida como la menor $k\in\Bbb Z^+$ tal que $X_k=1$ . El experimento en este caso es realizar una secuencia infinita $\mathbf X=\langle X_1,X_2,X_3,\dots\rangle$ de ensayos Bernoulli independientes, por lo que los posibles resultados son las infinitas secuencias que son los puntos del producto cartesiano $\Omega^{\Bbb Z^+}$ .

Nótese que la independencia de los ensayos Bernoulli forma parte de la definición de una variable aleatoria geométrica. Por lo tanto, incluso sin tener acceso a ninguna teoría de la medida, podemos argumentar ingenuamente que

$$\begin{align*} P_N(\{k\})&=P(N=k)\\ &=P(X_1=0~\&~X_2=0~\&~\ldots~\&~X_{k-1}=0~\&~X_k=1)\\ &\overset{*}=P(X_1=0)\cdot P(X_2=0)\cdot\ldots\cdot P(X_{k-1}=0)\cdot P(X_k=1)\\ &=(1-p)^{k-1}p\;, \end{align*}$$

utilizando la independencia del $X_i$ para justificar la igualdad estelar.

Sin embargo, también podemos observar el conjunto de resultados que se traduce en $N=k$ Es

$$\left\{\omega\in\Omega^{\Bbb Z^+}:N(\omega)=k\right\}=\left\{\langle\omega_1,\omega_2,\omega_3,\dots\rangle\in\Omega^{\Bbb Z^+}:\omega_1=\ldots=\omega_{k-1}=f\text{ and }\omega_k=s\right\}\;.$$

Si para cada $n\in\Bbb Z^+$ dejamos que $\Omega_n=\{s,f\}$ podemos escribir este conjunto como

$$\left\{\omega\in\Omega^{\Bbb Z^+}:N(\omega)=k\right\}=\{f\}^{k-1}\times\{s\}\times\prod_{n>k}\Omega_n\;,$$

a juego de cilindros en el producto $\Omega^{\Bbb Z^+}=\prod_{n\ge 1}\Omega_n$ .

Obsérvese que la probabilidad que ingenuamente asignamos a este conjunto es, en realidad, el producto de las probabilidades asociadas a los factores individuales: todos ellos, salvo un número finito, son $1$ , por lo que en efecto es un producto finito. Esta asignación de probabilidades a los conjuntos de cilindros es, de hecho, el punto de partida para construir una medida de probabilidad sobre el producto, y para este escenario particular no necesitamos nada más.