Cuantificación de conjuntos causales

Question

Hola,

Aquí hay un par de preguntas:

1. ¿Existe una forma de clasificar todos los homomorfismos entre dos posets finitos?

2. La misma pregunta que (1) pero para conjuntos conectados infinitos, localmente finitos y contables.

Estas cuestiones son relevantes para la cuantificación del conjunto causal. Gracias

P.D.: Menciono un resultado parcial relativo a los AUTOMORFISMOS de conjuntos conectados localmente finitos y contables: cualquier automorfismo de un conjunto de este tipo (suponiendo algunas hipótesis adicionales) debería transformar las cadenas en sí mismas (no todas las cadenas, sino un conjunto de cadenas que formen una partición del conjunto), o transformar las anticadenas en sí mismas (de nuevo una partición del conjunto). Así que en el primer caso el automorfismo es inducido por automorfismos de una cadena (que puede ser indexada de forma clara por números enteros), y en el segundo caso el automorfismo es inducido por automorfismos de una anticadena (que también satisfacen otras condiciones). Así que una caracterización similar en términos de homomorfismos es útil.

Para el significado de homomorfismo podemos exigir que si $a \leq b$ entonces $\pi(a) \leq \pi(b)$ y si $\pi(a) \leq \pi(b)$ entonces existe $a'$ y $b'$ tal que $a' \leq b'$ y $\pi(a')=\pi(a)$ y $\pi(b') =\pi(b)$ .

Answer 1

Creo que deberías estudiar más bien endomorfismos de posets que homomorfismos. Entonces se obtiene una estructura algebraica (el semigrupo de endomorfismos) y además un montón de artículos en este problema. Ver, por ejemplo, P. M. Higgins, J. D. Mitchell, M. Morayne y N. Ruškuc, Rank Properties of Endomorphisms of Infinite Partially Ordered Sets, Bull. London Math. Soc. (2006) 38 (2): 177-191.