¿Es esta una caracterización de la conmutación $C^{*}$ ¿algebras?

Question

Supongamos que $A$ es un $C^{*}$ álgebra con elementos autoadjuntos $A_{sa}$ . Supongamos que para todos los $a,b\in A$ tenemos $$ab\in A_{sa} \iff ba \in A_{sa}$$

Es $A$ ¿es necesariamente un álgebra conmutativa?

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Answer 1

Sí. Demostraré que dos elementos positivos cualesquiera de $A$ conmutar. Como cada elemento es una combinación lineal de elementos positivos, esto es suficiente.

Diga $a$ y $b$ son positivos. Entonces $a^{1/2}ba^{1/2} \in A_{sa}$ por lo que por hipótesis $ba^{1/2}a^{1/2} = ba \in A_{sa}$ . Es decir, $ba = (ba)^* = a^*b^* = ab$ . QED