Relación entre el espacio reflexivo y el espacio separable

Question

Si $X$ es reflexivo y el dual $X'$ contiene un conjunto contable que separa los puntos de $X$ , mostrar $X'$ es separable.

Una forma de demostrarlo es utilizando el hecho de que la bola unitaria $B_{X}$ es un conjunto débilmente compacto siempre que $X$ es reflexivo, y como $X'$ tiene un conjunto contable que separa los puntos de $X$ la topología débil en $B_{X}$ es metrizable, de lo que se deduce que $X'$ es separable. Pero no puedo usar esta idea porque la noción de topología débil se discute más adelante en el siguiente capítulo de mi libro de texto, así que creo que usar el teorema de Hahn-Banach es el camino correcto, pero no tengo ni idea de cómo empezar. Cualquier pista es bienvenida.

Answer 1

Una pista: Es suficiente para demostrar que $X$ es separable. Dejemos, $S=\{f_n\}$ sea la colección contable de funcionales que separa los puntos de $X.$

Demostrar que, existe $x_n$ tal que, $X=\text{span} \{x_n\}\bigoplus \ker f_n.$ Llama, $T= \{x_n\}$

Toma, $D=\{\lambda x:\lambda\in\mathbb{Q}+i\mathbb{Q} ,x\in T\}$ y demostrar que, $\bar{D}=X$

Editar(Elaborado): Es bien sabido que, si $Y$ es un n.l.s tal que $Y^*$ es separable entonces $Y$ es separable.

Ya que, hemos demostrado anteriormente que $X$ es separable y $X$ siendo reflexivo, por lo que $X^{**}$ también es separable.

Por lo tanto, $X^*$ es separable.