Confusión sobre la base ortogonal de una forma cuadrática.

Question

Dejemos que $q(x)=x_1^2+4x_1x_2+6x_1x_3+3x_2^2+8x_2x_3+5x_3^2$

1)Escribe la matriz $A$ de $q$ en la base estándar de $\mathbb{R}^3$

2)Encuentra la matriz diagonal $A'$ congruente con A.

3)Encuentra la base ortogonal de la forma cuadrática anterior.

Solución

1) $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ Desde $A$ es simétrica.

2) Desde $a_{11}=1$ ( diferente de cero) , $q$ puede escribirse como :

$q(x)=\frac{1}{a_{11}}(x_1+2x_2+3x_3)^2+q'(x)$

Resolver para $q'(x)$ Obtenemos :

$q'(x)=-x_2^2-4x_2x_3-4x_3^2=-(x_2+2x_3)^2$

De ahí que..: $q(x)=(x_1+2x_2+3x_3)^2-(x_2+2x_3)^2$

Cambio de variables :

Deja :

$x'_1=x_1+2x_2+3x_3$

$x'_2=x_2+2x_3$

$x'_3=x_3$

Así: $ A' = \begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

3) Tenemos que encontrar $x_1 , x_2 ,x_3$ función de $x'_1 , x'_2 , x'_3$

$x_1=x'_1-2x'_2+x'_3$

$x_2=x'_2-2x'_3$

$x_3=x'_3$

Y $ P = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(Podemos comprobar que $^{t}PAP=A'$ )

Y la base ortogonal sería $B'=$ { $v_1=(1,0,0),v_2=(-2,1,0),v_3=(1,-2,1)$ }

(Por favor, señale cualquier error de cálculo)

Sin embargo, no estoy muy seguro de lo que denota esta base, ¿es la base en la que la matriz congruente $A'$ de $A$ es diagonal? ¿No debería esta base contener sólo 2 vectores ya que el rango de $A$ es 2 ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Conceptualmente, la cuestión es que una misma forma cuadrática puede tener diferentes diagonalizaciones si no exigimos que el cambio de bases sea una matriz ortogonal (esto es lo que suele ocurrir si se diagonaliza "completando los cuadrados"; hay más de una manera de hacerlo, por ejemplo, no empezando con $a_{11}$ pero con $a_{22}$ o $a_{33}$ ; empezando no con $a_{11}$ como lo hiciste obtienes un cambio de base triangular superior, que no es ortogonal (a menos que sea diagonal, lo que sólo ocurrirá si A mismo es diagonal)).

Para encontrar una base ortonormal en la que A se convierta en diagonal hay que encontrar una base de vectores propios unitarios. Wolfram da los vectores propios $(1/10 (-5 + \sqrt{105}), 1/20 (5 + \sqrt{105}) , 1)$ , $(1/10 (-5 - \sqrt{105}) , 1/20 (5 - \sqrt{105}) , 1)$ y $(1,-2 ,1)$ con algunas longitudes bastante desagradables, por lo que la base ortonormal es bastante engorrosa. Pero dependiendo de lo que uno quiera decir, los tres vectores propios pueden ser considerados como una "base ortogonal" (la forma se verá diagonal en esta base ortogonal).